감마분포 계산기

평균 간격이 θ인 사건이 k번 일어날 때까지 걸리는 시간의 분포입니다. 지수분포가 「사건이 1번 일어날 때까지」라면 감마분포는 그것을 k번 이어 더한 것이고, k가 자연수일 때 이 해석을 특히 얼랑(Erlang)분포라 부릅니다. k가 실수여도 식 f(x;k,θ)=x^(k−1)e^(−x/θ)/(Γ(k)θ^k)은 그대로 확장되어 감마함수 Γ가 계승 자리를 대신합니다.

같은 모수를 뒤집어 쓴 것뿐입니다 — β=1/θ. 그런데 자료마다 어느 쪽을 쓰는지가 갈립니다. Wikipedia와 대부분의 통계 교재는 척도 θ를 쓰고, 베이지안 통계나 신뢰성공학 쪽은 지수분포의 λ와 맞추려고 비율 β를 씁니다. 「Gamma(2,3)」이라 적혀 있어도 어느 표기인지에 따라 평균이 6(θ=3)일 수도 2/3(β=3)일 수도 있으므로, 자료를 볼 때는 반드시 어느 모수인지부터 확인해야 합니다. 이 계산기는 입력을 θ 기준으로 통일하고 β=1/θ도 함께 보여줍니다.

평균은 kθ, 분산은 kθ²입니다. 최빈값(밀도가 가장 큰 지점)은 k≥1일 때 (k−1)θ이고, k<1이면 밀도가 x=0에서 무한대로 치솟아 최빈값이라 부를 지점이 없어 0으로 표시합니다. k=1(지수분포)에서는 최빈값이 정확히 0으로, 사건이 지금 막 일어날 확률이 가장 높다는 지수분포의 성질과 일치합니다.

오른쪽 꼬리가 짧아지고 좌우 대칭에 가까워집니다. 왜도는 2/√k라서 k가 커질수록 0에 가까워지고, 중심극한정리에 따라 k가 충분히 크면 평균 kθ·분산 kθ²인 정규분포로 근사됩니다. 반대로 k<1이면 x=0 근처에 밀도가 몰려 있는 L자 모양이 됩니다.

카이제곱분포는 감마분포의 특수한 경우입니다. 자유도 df인 카이제곱분포는 Gamma(k=df/2, θ=2)와 정확히 같아서, 이 계산기에 k=df/2·θ=2를 넣으면 카이제곱분포 계산기와 같은 누적확률이 나옵니다. 카이제곱검정 자체가 「분산의 추정이 감마분포를 따른다」는 사실에서 나온 것이기도 합니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.