헤르츠 접촉응력 계산기

구나 원통처럼 곡면끼리 닿을 때 생기는 접촉 면적과 압력을 탄성론으로 푼 결과입니다. 수학적으로는 점이나 선으로 닿아 면적이 0이지만 실제로는 두 물체가 눌려 찌그러지며 작은 접촉면이 생기고, 그 크기를 재료의 탄성계수와 곡률만으로 구할 수 있습니다. 헤르츠가 1882년에 냈습니다.

최대 전단응력이 표면이 아니라 표면 아래에 생기기 때문입니다. 접촉면 한가운데 표면은 세 방향이 고르게 눌려 있어 전단이 작지만, 깊이 들어가면 누르는 힘은 빨리 줄고 옆으로 미는 힘은 천천히 줄어 그 차이가 커집니다. 점 접촉이면 깊이 0.48a에서 0.31p₀로 최대가 되고, 구름 베어링과 기어의 피로 균열이 여기서 시작해 밖으로 자라 나오는 것이 스폴링입니다.

두 물체 문제를 한 물체 문제로 줄이기 위해서입니다. 1/R = 1/R₁ + 1/R₂, 1/E* = (1−ν₁²)/E₁ + (1−ν₂²)/E₂로 묶으면 「반지름 R인 강체 구가 탄성계수 E*인 반무한체를 누르는」 하나의 문제가 됩니다. 평면은 R = ∞이라 0을, 베어링 궤도 같은 오목면은 음수를 넣습니다.

아닙니다. 점 접촉이면 p₀ ∝ F^(1/3)이라 힘이 여덟 배가 되어야 압력이 두 배가 됩니다. 눌릴수록 접촉면이 넓어져 스스로 압력을 낮추기 때문입니다. 선 접촉은 p₀ ∝ F^(1/2)로 조금 더 민감해서 네 배면 두 배가 됩니다.

볼 베어링·구슬처럼 한 점으로 닿으면 점 접촉, 롤러 베어링·기어 이·레일과 차륜처럼 축이 나란한 원통이 닿아 띠로 눌리면 선 접촉입니다. 선 접촉은 접촉 길이로 나눈 단위길이당 하중을 쓰므로 길이 입력이 따로 필요합니다.

트레스카 기준으로 2τ_max = σ_y일 때이며, 점 접촉이면 최대 압력이 항복강도의 약 1.6배가 되는 지점입니다. 항복이 표면 아래에서 먼저 일어나므로 표면 압력이 항복강도를 넘겨도 겉은 아직 멀쩡해 보입니다. 세라믹이나 유리는 항복하지 않고 깨지므로 이 기준이 맞지 않습니다.

접선력이 커질수록 최대 전단응력의 자리가 표면 쪽으로 올라옵니다. 마찰계수가 대략 0.3을 넘으면 표면에 생겨 이 계산의 전제가 깨지고, 표면 균열과 마모가 문제의 중심이 됩니다. 이 계산기는 마찰 없는 매끄러운 접촉만 다룹니다.

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