횔더 부등식 계산기
Σ|xᵢyᵢ| ≤ ‖x‖ₚ‖y‖ᵩ 횔더 부등식을 켤레지수 p를 바꿔가며 계산합니다. p=2를 넣으면 코시-슈바르츠 부등식과 정확히 같아지는 것을 확인할 수 있습니다.
값 목록 x
값 목록 y
공백이나 쉼표로 구분해 넣으세요. x, y는 같은 개수여야 합니다.
1보다 커야 합니다. 켤레지수 q = p/(p-1)이 자동으로 정해집니다
부등식이 성립합니다
Σ|xᵢyᵢ| = 32 ≤ 32.8329 = ‖x‖ₚ‖y‖ᵩ
p = 2, q = 2
계산 방법
- 1두 값 목록 x, y를 같은 개수로 넣습니다.
- 2지수 p(1보다 큰 값)를 정합니다. 켤레지수 q = p/(p-1)이 자동으로 계산됩니다.
- 3좌변(성분별 곱의 절댓값의 합)과 우변(각각의 Lp·Lq 노름의 곱)을 비교합니다.
- 4p=2를 넣으면 코시-슈바르츠 부등식과 좌변·우변이 정확히 같아지는 것을 볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
1/p + 1/q = 1(p, q > 1, 켤레지수)인 임의의 p에 대해 Σ|xᵢyᵢ| ≤ (Σ|xᵢ|ᵖ)^(1/p)·(Σ|yᵢ|ᵠ)^(1/q)가 항상 성립한다는 부등식입니다. 우변의 두 항은 각각 x, y의 Lp노름과 Lq노름입니다.
p=q=2를 넣은 특수한 경우가 바로 코시-슈바르츠 부등식(edu/cauchy-schwarz-inequality)입니다. 코시-슈바르츠가 유클리드 노름(L²) 하나에 대한 부등식이라면, 횔더는 p를 2가 아닌 값으로 바꿔가며 서로 다른 두 Lp노름 사이의 부등식으로 일반화한 것입니다. 이 계산기에 p=2를 넣으면 두 부등식의 우변이 정확히 같아집니다.
a,b≥0이고 1/p+1/q=1이면 ab ≤ aᵖ/p+bᵠ/q(영의 부등식, Young's inequality)가 성립합니다. x, y를 각자의 노름으로 정규화한 값에 이 부등식을 적용해 모두 더하면 1/p+1/q=1이 나오고, 여기에 두 노름의 곱을 곱하면 횔더 부등식이 됩니다.
|xᵢ|ᵖ과 |yᵢ|ᵠ이 서로 비례할 때(정확히는 |xᵢ|ᵖ/‖x‖ₚᵖ = |yᵢ|ᵠ/‖y‖ᵩᵠ가 모든 i에서 성립할 때) 등호가 됩니다. p=q=2일 때는 이것이 x와 y가 평행하다는 조건과 같아집니다.
코시-슈바르츠는 보통 |Σxᵢyᵢ|(먼저 더하고 절댓값)로 쓰지만 횔더는 Σ|xᵢyᵢ|(먼저 절댓값을 씌우고 더함)로 씁니다. 모든 성분의 부호가 같으면 둘이 정확히 같지만, 부호가 섞이면 Σ|xᵢyᵢ|가 |Σxᵢyᵢ|보다 커질 수 있습니다(삼각부등식). 우변(노름의 곱)은 어느 쪽이든 항상 같습니다.
전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- p=1(q=∞인 경우)은 다루지 않습니다. p는 1보다 커야 합니다.
- 두 목록의 길이(성분 개수)는 같아야 합니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 9일 · 결과는 참고용 추정치입니다.