쌍곡선함수 계산기

sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2, tanh = sinh/cosh입니다. 원함수가 단위원 x²+y²=1 위의 점을 준다면 쌍곡선함수는 단위쌍곡선 x²−y²=1 위의 점을 줍니다. 그래서 sin²+cos²=1 자리에 cosh²−sinh²=1이 오며, 부호 하나가 바뀌는 것이 차이의 전부입니다.

다릅니다. 그쪽은 곡선의 방정식이고 이쪽은 함수입니다. 다만 이름이 붙은 이유는 같아서, 쌍곡선함수의 값이 단위쌍곡선 위의 점을 준다는 데서 나왔습니다. 이름만 보고 원뿔곡선 계산기를 찾고 있었다면 그쪽으로 가야 합니다.

상쇄 때문입니다. arsinh x = ln(x + √(x²+1))은 x가 큰 음수일 때 x + √(x²+1)이 거의 같은 두 수의 차가 되어 유효숫자가 통째로 사라집니다. x = −10⁸에서 여러 자리가 날아갑니다. 홀함수라는 성질로 sign(x)·ln(|x| + √(x²+1))로 쓰면 그 자리를 피할 수 있습니다. 이 계산기는 두 값을 나란히 내서 몇 자리를 잃었는지 보여 줍니다.

있지만 위험한 자리가 다릅니다. artanh x = ½ln((1+x)/(1−x))는 x가 0에 가까울 때 (1+x)/(1−x)가 1에 붙어 ln이 자릿수를 잃으므로 log1p를 씁니다. arcosh x = ln(x + √(x²−1))은 x가 1에 가까울 때 x²−1이 상쇄되므로 √(x−1)·√(x+1)로 나눠 씁니다. 세 함수가 각각 다른 곳에서 무너지는 것이 요점입니다.

줄의 무게가 «줄 길이»에 비례해 걸리기 때문입니다. 다리 상판처럼 무게가 «수평 거리»에 비례하면 포물선이 되지만, 줄만 늘어뜨리면 y = a·cosh(x/a)인 현수선이 됩니다. 줄이 팽팽할수록 둘의 차이가 사라져 포물선 어림이 잘 맞습니다.

속도비를 v/c = tanh φ로 바꿔 놓은 값입니다. 상대론에서 속도는 그냥 더할 수 없지만 래피디티는 그냥 더해집니다. φ₁ + φ₂를 다시 tanh에 넣으면 상대론적 속도 합성식 (v₁+v₂)/(1+v₁v₂/c²)이 나옵니다. tanh의 값이 −1과 1 사이를 벗어나지 않으므로 아무리 더해도 광속을 넘지 않는 것이 저절로 따라옵니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.