등주부등식 계산기

둘레 P, 넓이 A인 임의의 닫힌 평면도형에서 4πA ≤ P²이 항상 성립한다는 정리입니다. 등호는 그 도형이 원일 때만 성립합니다. 즉 "같은 둘레라면 원이 넓이가 가장 크다"는 뜻입니다.

Q = 4πA/P²로, 0보다 크고 1 이하인 값입니다. Q=1이면 정확히 원이고, Q가 작을수록 둘레에 비해 넓이가 좁은(길쭉하거나 오목한 부분이 많은) 모양입니다. 예를 들어 정사각형은 Q=π/4≈0.785, 정삼각형은 Q=π/(3√3)≈0.605입니다.

변분법이나 슈타이너의 대칭화(Steiner symmetrization) 등 여러 증명 방법이 있습니다. 직관적으로는 변의 수가 늘어날수록 등주비가 커지는 정다각형의 극한(n→∞)이 원이라는 사실로도 확인할 수 있습니다: 정사각형(π/4)→정육각형→…→원(1)으로 갈수록 1에 가까워집니다.

그런 둘레·넓이 조합을 가진 실제 도형은 존재할 수 없다는 뜻입니다. 입력한 두 값 중 하나가 잘못됐을 가능성이 큽니다 — 등주부등식은 어떤 닫힌 도형도 절대 어길 수 없는 상한이기 때문입니다.

둘레 P를 그대로 원으로 만들면 반지름 r=P/(2π), 넓이 πr²=P²/(4π)가 됩니다. 이 계산기가 보여주는 "부족한 넓이"는 사용자가 입력한 도형이 같은 둘레의 원보다 얼마나 덜 효율적으로 넓이를 둘러싸는지를 나타냅니다.

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