자크–베라 정규성 검정 계산기

자료가 정규분포에서 나왔는지를 왜도와 첨도 두 가지만 보고 판정하는 검정입니다. 정규분포는 왜도가 0, 첨도가 3이므로 둘 다에서 얼마나 벗어났는지를 JB = n/6·(S² + (K−3)²/4)로 재고, 이 값이 자유도 2인 카이제곱분포를 따른다고 봅니다.

자유도 2 카이제곱은 누적분포가 1 − e^(−x/2)라 p값이 정확히 e^(−JB/2)로 떨어집니다. 표를 찾을 필요가 없는 드문 경우이며, 5% 임계값은 −2·ln 0.05 = 5.9915, 1% 임계값은 9.2103입니다.

카이제곱 근사가 크게 어긋나는데, 방향이 흔한 오해와 반대입니다. 너무 자주 기각하는 것이 아니라 거의 기각하지 못합니다. 표준정규 난수로 실제 기각률을 재 보면 유의수준 5%인데도 n = 8에서 0.1%, n = 12에서 1.2%, n = 30에서 2.7%에 그칩니다. 곧 작은 표본에서 «p값이 크게 나왔다»는 «정규분포에 가깝다»가 아니라 «검정력이 거의 없다»는 뜻입니다. 명목 5%에 이르려면 n이 200~500은 되어야 합니다.

둘 다 쓰입니다. 첨도 K는 정규분포에서 3이고, 3을 뺀 초과첨도 K − 3은 0입니다. 자료마다 «첨도»라고만 적고 어느 쪽인지 밝히지 않는 일이 흔해서, JB 식의 (K − 3) 자리에 이미 3을 뺀 값을 또 넣어 −3이 두 번 빠지는 실수가 잦습니다. 이 계산기는 둘 다 나란히 냅니다.

편향 보정 때문입니다. 자크–베라 원래 식은 표본적률을 그대로 쓰지만(n으로 나눈 값), 엑셀의 SKEW·KURT와 scipy의 bias=False는 표본 크기로 보정한 G1 = √(n(n−1))/(n−2)·S, G2 = (n−1)/((n−2)(n−3))·((n+1)(K−3)+6)을 냅니다. 표본이 작으면 눈에 띄게 다르며, 이 계산기는 검정에 보정하지 않은 쪽을 쓰고 보정한 값도 함께 보여 줍니다.

왜도와 첨도가 정규분포와 같은 비정규 분포는 그냥 통과합니다. 좌우로 봉우리가 둘인 분포나 구간이 잘린 분포가 그럴 수 있습니다. 히스토그램이나 Q-Q 그림을 함께 보고, 표본이 작다면 샤피로–윌크 검정을 곁들이는 편이 낫습니다.

정규성에서 아주 조금만 벗어나도 p값이 0에 가까워집니다. 검정력이 지나치게 커지기 때문이며, 그때는 판정보다 왜도와 첨도의 값 자체를 보는 편이 낫습니다. 흔히 |왜도| < 2, |초과첨도| < 7이면 평균 기반 방법을 쓸 만하다고 보지만 절대 기준은 아닙니다.

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