케플러 방정식(궤도 위치) 계산기

E가 삼각함수 안팎에 함께 들어 있는 초월방정식이기 때문입니다. M = E − e·sinE에서 E를 한쪽으로 몰아낼 방법이 없습니다. 케플러 자신이 1609년에 «누가 이 문제를 풀어 주면 좋겠다»고 적었고 400년이 지난 지금도 수치로 풉니다. 다행히 뉴턴법이면 대개 서너 번 만에 끝납니다.

평균 근점각 M은 시간을 각으로 바꾼 것일 뿐 실제 각이 아닙니다. 이심 근점각 E는 타원을 감싼 보조원 위에서 잰 각이고, 진근점각 ν가 초점에서 실제로 보이는 각입니다. 원 궤도에서는 셋이 모두 같고, 이심률이 커질수록 근점 부근에서 ν가 E보다, E가 M보다 앞서 나갑니다 — 근점에서 빨리 지나간다는 케플러 제2법칙의 모습입니다.

뉴턴법의 분모 1 − e·cosE가 0에 가까워지기 때문입니다. e가 1에 가까우면 근점 부근에서 이 값이 거의 0이 되어 한 걸음이 지나치게 커지고 발산할 수도 있습니다. 그래서 초기값을 E₀ = M + e·sinM처럼 골라 두며, 이 계산기는 그래도 수렴하지 않으면 이분법으로 되돌아갑니다 — E − e·sinE가 0에서 2π까지 단조증가하므로 이분법은 반드시 답을 찾습니다.

atan을 쓰면 E가 π를 넘을 때 반 바퀴가 어긋나기 때문입니다. tan(ν/2) = √((1+e)/(1−e))·tan(E/2)를 그대로 atan에 넣으면 −π/2 ~ π/2 범위만 나와 궤도의 아래쪽 절반이 위쪽으로 접혀 버립니다. 반각을 두 인자로 나눠 atan2에 넘기면 이 문제가 사라집니다.

묻는 것이 다릅니다. 제3법칙 계산기는 «한 바퀴 도는 데 얼마나 걸리는가»를 장반경에서 내고, 이 계산기는 «그 한 바퀴 안에서 지금 어디쯤 있는가»를 냅니다. 둘을 이어 붙이면 임의의 시각에서의 위치가 나오므로 함께 보시면 좋습니다.

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