크루스칼-왈리스 H 검정 계산기

세 집단 이상의 분포가 같은지를 정규성 가정 없이 볼 때 씁니다. 일원배치 분산분석(ANOVA)의 자리에 들어가되, 자료가 정규분포를 따르지 않거나 서열 자료일 때 쓸 수 있습니다. 값을 전부 한 줄로 세워 순위를 매기고, 집단마다 순위가 골고루 섞였는지를 봅니다.

H = 12/(N(N+1)) × Σ(Rᵢ²/nᵢ) − 3(N+1)입니다. Rᵢ는 i번째 집단의 순위 합, nᵢ는 그 집단의 크기, N은 전체 개수입니다. 집단들이 순위를 골고루 나눠 가지면 H가 작고, 한 집단이 위쪽 순위를 몰아 가지면 H가 커집니다. H는 자유도 (집단 수 − 1)의 카이제곱분포로 근사합니다.

보정하지 않으면 H가 실제보다 작게 나와 있는 차이를 놓칩니다. 동점에 평균 순위를 나눠 주면 순위의 분산이 줄어드는데, 기본 식은 분산이 줄지 않는다고 보고 세운 것이기 때문입니다. C = 1 − Σ(tᵢ³−tᵢ)/(N³−N)로 나눠 보정하며, 5점 척도 설문처럼 값의 종류가 적은 자료에서는 이 한 줄이 결론을 바꿉니다.

이 검정만으로는 알 수 없습니다. H가 말해 주는 것은 «어딘가 다르다»까지입니다. 어느 쌍이 다른지 보려면 던 검정 같은 사후검정을 하거나, 짝마다 맨-휘트니 검정을 돌린 뒤 다중비교 보정을 해야 합니다. 보정 없이 짝마다 검정을 돌리면 세 집단이면 세 번, 다섯 집단이면 열 번을 보게 되어 우연히 유의한 것이 섞여 나옵니다.

ANOVA는 평균을, 크루스칼-왈리스는 순위를 봅니다. ANOVA는 각 집단이 정규분포를 따르고 분산이 같다고 가정하지만 이 검정은 그러지 않습니다. 대신 자료가 실제로 정규분포를 따른다면 ANOVA 쪽이 차이를 더 잘 잡아냅니다. 이상치가 있거나 서열 자료라면 크루스칼-왈리스가 안전합니다.

정확히는 아닙니다. 크루스칼-왈리스는 분포 전체가 같은지를 봅니다. 집단들의 퍼짐이 비슷할 때에만 결과를 «중앙값이 다르다»로 읽을 수 있습니다. 한 집단만 유독 넓게 퍼져 있으면 중앙값이 같아도 H가 커질 수 있습니다.

계산은 되지만 맨-휘트니 검정을 쓰는 편이 낫습니다. 두 집단일 때 H 검정은 맨-휘트니의 정규근사와 정확히 같은 값을 주는데(H = z²), 맨-휘트니는 표본이 작을 때 정확분포를 쓸 수 있어 더 미덥습니다. 이 계산기는 세 집단 이상을 한 번에 보려고 만들었습니다.

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