라그랑주 항등식 계산기

3차원 벡터 a, b에서 |a×b|² = |a|²|b|² − (a·b)²가 항상 정확히 성립한다는 항등식입니다. 부등식이 아니라 오차 없는 등식으로, 외적의 크기와 내적·노름의 관계를 직접 이어 줍니다.

양변을 성분(a₁,a₂,a₃과 b₁,b₂,b₃)으로 직접 전개하면 정확히 같은 식이 나옵니다. |a×b|²을 전개한 (a₂b₃−a₃b₂)²+(a₃b₁−a₁b₃)²+(a₁b₂−a₂b₁)²과, |a|²|b|²−(a·b)²을 전개한 식이 대수적으로 같습니다.

이 항등식을 (a·b)² = |a|²|b|² − |a×b|²로 다시 쓰면, |a×b|² ≥ 0이므로 (a·b)² ≤ |a|²|b|²가 바로 나옵니다. 이것이 |a·b| ≤ |a||b|(edu/cauchy-schwarz-inequality)의 3차원 버전이고, 등호(|a·b|=|a||b|)는 정확히 |a×b|=0일 때, 즉 a와 b가 평행할 때만 성립합니다.

외적 a×b가 영벡터가 되어 좌변이 0입니다. 이때 코시-슈바르츠 등호 조건대로 (a·b)² = |a|²|b|²가 성립해 우변도 정확히 0이 됩니다.

a·b=0이라 우변이 그대로 |a|²|b|²가 됩니다. 이때 |a×b| = |a||b|로, 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이가 최대(두 변의 길이를 곱한 값)가 됩니다.

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