벡터 정사영 계산기

벡터 a를 벡터 b가 가리키는 방향으로 «그림자를 드리운» 벡터입니다. 식으로는 proj_b(a) = (a·b/|b|²)b로 계산하며, 기하학적으로는 b가 뻗은 직선 위에서 a에 가장 가까운 점을 나타냅니다.

comp_b(a) = a·b/|b|로, 정사영 벡터의 부호 있는 길이입니다. a와 b 사이 각이 예각이면 양수, 둔각이면 음수, 직각이면 정확히 0이 됩니다.

네. perp_b(a) = a − proj_b(a)로 정의하기 때문에 두 성분을 더하면 항상 정확히 a가 됩니다. 이 계산기는 이 관계와 함께 perp_b(a)·b가 항상 0(b와 수직)이 되는지도 자체 검산해 보여줍니다.

perp_b(a)·b = (a − proj_b(a))·b = a·b − (a·b/|b|²)(b·b) = a·b − a·b = 0으로, 대입만 하면 항상 0이 되는 항등식이기 때문입니다.

힘을 특정 방향 성분과 그에 수직인 성분으로 나누는 물리 문제, 그람-슈미트 직교화(벡터들을 서로 수직으로 재배열하는 과정)의 기본 단계, 최소제곱법에서 "가장 가까운 점"을 구하는 데 쓰입니다.

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