도구스학업·수학

라플라스 변환 계산기

기본 함수(지수감쇠·램프·사인·코사인)의 라플라스 변환식과 극점을 구하고, 극점이 s평면 좌반면에 있는지로 연속시간 시스템의 안정성을 판정합니다.

a=0이면 계단(또는 순수 램프)입니다. a<0이면 감쇠, a>0이면 발산합니다.

안정 — 시간이 지나면 0으로 줄어듭니다

X(s) = 1 / (s − -0.5)

수렴 영역: Re(s) > -0.5

극점-0.5
극점이 s평면 어디에 있는가로 판정합니다. 모든 극점의 실수부가 음수면(좌반면) 안정, 정확히 0이면(허수축 위) 한계안정, 양수면 (우반면) 불안정입니다.
정의(적분)에서 직접 유도합니다. X(s) = ∫₀^∞x(t)e^(−st)dt에 x(t)=e^{at} 를 넣으면 ∫₀^∞e^{-(s-a)t}dt = 1/(s−a) 가 되는 것처럼, 이 계산기의 모든 식은 표를 옮긴 것이 아니라 정의에서 곧바로 끌어낸 것입니다.
Z변환과 짝을 이룹니다. 이산시간의 Z변환(edu/z-transform)이 «단위원 안(|z|<1)»으로 안정성을 판정한다면, 연속시간의 라플라스 변환은 «좌반면 (Re(s)<0)»으로 판정합니다. 이산시간의 배율 감쇠가 연속시간의 지수 감쇠에 대응하기 때문입니다.

계산 방법

  1. 1함수 종류(지수감쇠·램프·사인·코사인)를 고릅니다.
  2. 2비율 a 또는 각주파수 ω₀ 값을 입력합니다.
  3. 3라플라스 변환식과 극점을 확인합니다.
  4. 4극점이 s평면의 좌반면·허수축·우반면 중 어디에 있는지로 안정성을 판정합니다.

자주 묻는 질문

연속시간 함수 x(t)를 X(s) = ∫₀^∞ x(t)e^(−st)dt로 바꾼 것입니다. 미분방정식을 대수방정식으로 바꿔 풀 수 있게 해 주고, 극점의 위치로 시스템의 안정성 같은 성질을 바로 읽을 수 있습니다.

같은 개념을 다른 시간 축에 적용한 짝입니다. Z변환은 이산시간 수열(합)을, 라플라스 변환은 연속시간 함수(적분)를 다룹니다. 안정성 판정 기준도 대응합니다 — Z변환의 «단위원 안(|z|<1)»이 라플라스 변환에서는 «좌반면(Re(s)<0)»으로 바뀝니다.

모든 극점의 실수부가 음수(s평면 좌반면)면 안정(시간이 지나면 0으로 줄어듦), 실수부가 정확히 0(허수축 위)이면 한계안정(줄지도 늘지도 않음), 양수(우반면)면 불안정(발산)입니다.

사인·코사인의 극점은 s=±jω₀ 형태로, 실수부가 ω₀ 값과 무관하게 항상 정확히 0입니다. 순수한 진동이 시간이 지나도 커지지도 줄어들지도 않는다는 물리적 사실과 정확히 맞아떨어집니다.

routh-hurwitz는 특성방정식의 계수만으로(극점을 직접 구하지 않고) 좌반면 여부를 표로 판정하는 도구입니다. 이 계산기는 기본 함수 각각의 변환식과 극점을 직접 구해 보여준다는 점에서 더 앞 단계의 개념을 다룹니다.

알아두면 좋은 점

  • 이 계산기가 다루는 함수는 모두 t≥0에서 정의된 인과적(causal) 함수입니다.
  • 이 도구의 극점·닫힌 식은 라플라스 변환의 정의(적분)에서 직접 유도한 것으로, 표를 그대로 옮긴 것이 아닙니다.
  • 실제 시스템의 안정성을 판정하려면 이 함수가 그 시스템의 임펄스 응답이라는 전제가 필요합니다.

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Z변환기본 수열(지수감쇠·램프·사인·코사인)의 Z변환식과 극점을 구하고, 극점이 단위원 안에 있는지로 이산시간 시스템의 안정성을 판정합니다.라우스-후르비츠특성방정식의 계수만으로 라우스 표를 만들어 우반평면 근의 개수를 셉니다.보데 선도 점근선극점과 영점이 주어진 전달함수의 이득·위상을 주파수별로 내고 점근선과 실제 곡선을 겹쳐 그립니다.죄수와 상자죄수 수와 열 수 있는 상자 수를 넣으면 아무 상자나 여는 전략과 사이클을 따라가는 전략의 전원 성공 확률을 각각 구합니다.15퍼즐 판정슬라이딩 퍼즐 배치를 넣으면 아무리 밀어도 맞출 수 있는 배치인지 판정합니다.

마지막 검증: 2026년 9월 3일 · 결과는 참고용 추정치입니다.