라우스-후르비츠 안정 판별 계산기

특성방정식의 근을 구하지 않고 계수만으로 우반평면에 근이 몇 개 있는지 세는 방법입니다. 계수를 하나 걸러 하나씩 두 줄에 늘어놓고 정해진 규칙으로 아래로 채워 표를 만들면, 첫 열의 부호가 바뀐 횟수가 곧 우반평면 근의 개수입니다. 모든 근이 좌반평면에 있어야 계가 안정하므로, 부호가 한 번도 바뀌지 않으면 안정합니다.

계수에 아직 정하지 않은 값이 들어 있으면 근을 구할 수 없기 때문입니다. 제어에서 이득 K를 얼마까지 올릴 수 있는지 정할 때, 표의 첫 열이 모두 양수가 되는 K의 범위를 부등식으로 풀면 됩니다. 근을 구하는 방법으로는 이렇게 할 수 없습니다.

아닙니다. 필요조건일 뿐 충분조건이 아닙니다. s³ + s² + 2s + 8은 계수가 모두 양수인데도 우반평면에 근이 둘 있습니다. 반대로 부호가 하나라도 다르거나 0이면 표를 만들 것도 없이 이미 불안정합니다.

아주 작은 양수 ε로 바꾸고 ε → 0⁺의 극한으로 부호를 읽습니다. 0을 그대로 두면 다음 줄에서 0으로 나누게 되기 때문입니다. 나눗셈 결과가 −12/ε처럼 아주 커지지만 부호만 보면 되므로 상관없습니다. 이 처리를 빠뜨린 구현이 흔하고, 그때 무한대가 된 값을 건너뛰고 세면 불안정한 계를 안정하다고 잘못 판정합니다.

바로 위 줄로 보조다항식을 세워 미분한 계수로 채웁니다. 줄 전체가 0이라는 것은 원점에 대해 대칭인 근들이 있다는 뜻으로, 허수축 위의 켤레쌍(±jω)이거나 ±r 꼴의 실근 쌍입니다. 허수축 위의 근은 안정도 불안정도 아닌 진동의 경계라 우반평면 개수에 들어가지 않으므로, 이 계산기는 따로 세어 알려 줍니다.

허수축 위에 근이 있는 경우입니다. s² + 1처럼 근이 ±j뿐이면 우반평면에는 하나도 없어 부호 변화가 0이지만, 진동이 줄어들지 않아 안정하다고 말할 수 없습니다. 표에서 줄 전체가 0이 되었는지 확인해 보세요. 그 표시가 있으면 이 경우입니다.

10차까지 다룹니다. 차수가 높아질수록 표의 값이 커지거나 작아져 자릿수를 잃을 수 있으므로, 이 계산기는 근을 직접 구해 센 개수를 함께 보여 두 값이 맞는지 확인할 수 있게 했습니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.