Z변환 계산기

기본 수열(지수감쇠·램프·사인·코사인)의 Z변환식과 극점을 구하고, 극점이 단위원 안에 있는지로 이산시간 시스템의 안정성을 판정합니다.

수열 종류

비율 a

a=1이면 계단(또는 순수 램프), a=−1이면 교대 수열입니다.

안정 — 시간이 지나면 0으로 줄어듭니다

X(z) = z / (z − 0.5)

수렴 영역: |z| > 0.5

극점0.5

극점 크기 |z|0.5

극점이 단위원 어디에 있는가로 판정합니다. 모든 극점의 크기가 1보다 작으면(단위원 «안») 안정, 정확히 1이면(단위원 «위») 한계안정, 1보다 크면(단위원 «밖») 불안정입니다.

등비급수 합 공식에서 직접 유도합니다. X(z) = Σx[n]z⁻ⁿ에 x[n]=aⁿ을 넣으면 Σ(a/z)ⁿ = 1/(1−a/z) = z/(z−a) 가 되는 것처럼, 이 계산기의 모든 식은 표를 옮긴 것이 아니라 등비급수 공식에서 곧바로 끌어낸 것입니다.

계산 방법

이산시간 수열 x[n]을 X(z) = Σ x[n]z⁻ⁿ으로 바꾼 것입니다. 라플라스 변환이 연속시간 신호를 복소평면으로 옮기듯, Z변환은 이산시간 신호를 복소평면으로 옮겨 극점·안정성 같은 성질을 대수적으로 다룰 수 있게 해 줍니다.

X(z)를 분수식으로 썼을 때 분모가 0이 되는 z값입니다. 이 수열을 어떤 시스템의 임펄스 응답으로 보면, 극점의 위치가 그 시스템이 시간이 지나면서 커지는지 줄어드는지를 그대로 알려 줍니다.

모든 극점이 단위원 «안»(크기가 1보다 작음)에 있으면 안정(시간이 지나면 0으로 줄어듦), 단위원 «위»(크기가 정확히 1)면 한계안정(줄지도 늘지도 않음), «밖»(크기가 1보다 큼)이면 불안정(발산)입니다.

사인·코사인의 극점은 e^(±jω₀) 형태인데, 오일러 공식에 따라 이 값의 크기는 ω₀와 무관하게 항상 1입니다. 순수한 진동은 커지지도 줄어들지도 않는다는 물리적 사실과 정확히 맞아떨어집니다.

계단 수열은 1이 계속 반복될 뿐 커지지도 줄어들지도 않습니다. 극점이 z=1로 단위원 위에 있으므로 한계안정으로 판정되고, 이는 실제 수열의 거동과 맞아떨어집니다.

이 계산기가 다루는 수열은 모두 n≥0에서 정의된 인과적(causal) 수열입니다. 수렴 영역(ROC)은 가장 바깥쪽 극점보다 큰 |z|입니다.
이 도구의 극점·닫힌 식은 등비급수 합 공식에서 직접 유도한 것으로, 표를 그대로 옮긴 것이 아닙니다.
실제 시스템의 안정성을 판정하려면 이 수열이 그 시스템의 임펄스 응답이라는 전제가 필요합니다. 입력 신호 자체의 발산 여부를 보려는 것이라면 극점 위치를 그 신호의 증가·감소 경향으로 해석하면 됩니다.

마지막 검증: 2026년 9월 3일 · 결과는 참고용 추정치입니다.