직선과 원의 교차 계산기

원 중심에서 직선까지의 수직거리를 반지름과 견주면 됩니다. 거리가 반지름보다 크면 만나지 않고, 같으면 한 점에서 접하고, 작으면 두 점에서 만납니다. 직선을 매개변수 t로 나타내 원의 방정식에 대입하면 t에 대한 이차방정식이 나오는데, 이 판별식의 부호가 정확히 같은 세 경우를 가릅니다.

직선 위의 점을 P(t) = P1 + t(P2−P1)로 나타냅니다. t가 0이면 P1, 1이면 P2이고 그 사이·바깥 모든 실수 t가 직선 전체를 표현합니다. 이 식을 원의 방정식 |P(t)−중심|² = 반지름²에 대입하면 t에 대한 이차방정식 at²+bt+c=0이 나오고, 이를 풀면 교점의 위치(t값)와 좌표가 그대로 나옵니다.

edu/circle-intersection은 두 «원»이 서로 만나는 경우(외접·내접·포함 등 여섯 가지)를 다루고, 이 계산기는 «직선»과 원의 교차만 다룹니다. 직선은 반지름이 무한대인 원이라고 볼 수 있어 판정 논리는 비슷하지만, 경우의 수가 만나지 않음·접함·두 점 교차 셋으로 더 단순합니다.

됩니다. 두 점은 직선의 «방향»을 정하기 위한 것일 뿐 선분의 끝이 아니라서, 직선은 두 점을 지나 양쪽으로 무한히 뻗어 나간다고 봅니다. 화면의 그림은 원과 교점이 잘 보이도록 실제 그리는 범위를 자동으로 맞춥니다.

접함은 직선이 원의 경계에 정확히 한 번만 닿는 경우이기 때문입니다(이차방정식의 판별식이 0이라 중근 하나만 나옵니다). 원 중심에서 직선에 내린 수선의 발이 곧 접점이며, 이 접점에서 반지름을 그으면 항상 직선과 수직입니다.