선형점화식 일반항 계산기

특성방정식 rᵏ − c₁rᵏ⁻¹ − … − c_k = 0의 근을 구한 뒤, 그 근들로 만든 항의 합에 초기값을 맞추면 됩니다. aₙ = rⁿ을 점화식에 넣고 rⁿ⁻ᵏ 로 나누면 이 방정식이 나오며, 근이 모두 다르면 aₙ = A₁r₁ⁿ + A₂r₂ⁿ + … 꼴이 됩니다. 상수 A는 초기값으로 세운 연립방정식이 정합니다.

해의 개수가 모자라기 때문입니다. 초기값이 k개면 서로 독립인 해도 k개 필요한데, 근 r이 m번 겹치면 rⁿ 하나밖에 나오지 않습니다. 그래서 rⁿ, n·rⁿ, …, n^(m−1)·rⁿ를 함께 씁니다. aₙ = 4aₙ₋₁ − 4aₙ₋₂는 (r−2)² = 0이라 일반항이 A·2ⁿ이 아니라 (A + Bn)·2ⁿ이며, 이 n을 빠뜨리는 것이 가장 흔한 실수입니다.

켤레쌍을 합치면 허수가 사라져 ρⁿ(A·cos nθ + B·sin nθ) 라는 실수 식이 됩니다. 계수가 실수면 복소근은 반드시 켤레쌍 ρe^(±iθ)로 나오고, 두 항을 더하면 허수부가 상쇄되기 때문입니다. aₙ이 실수인데 답에 i가 남아 있으면 안 되므로 이 계산기는 항상 이 꼴로 되돌려 보여 줍니다. ρ가 진동의 크기를, θ가 주기를 정합니다.

비네 공식 aₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5입니다. φ = (1+√5)/2, ψ = (1−√5)/2로 r² − r − 1 = 0의 두 근입니다. 계수에 1, 1을 넣고 초기값에 0, 1을 넣으면 이 계산기가 두 근과 ±1/√5라는 계수를 그대로 냅니다.

낸 일반항으로 계산한 값과 점화식을 그대로 굴린 값을 표에서 나란히 견주면 됩니다. 이 계산기는 두 열의 상대오차 최댓값도 함께 내며, 근이나 상수가 어긋나면 여기서 바로 드러납니다. 인수분해를 다시 펼쳐 원래 계수와 견준 오차도 같이 보여 줍니다.

풀 수 없습니다. 오른쪽에 이전 항이 아닌 항(n, 상수, 2ⁿ 등)이 붙은 비제차 점화식은 특수해를 따로 찾아야 하고, 그 꼴이 항마다 달라 하나로 정해지지 않습니다. 이 계산기는 오른쪽이 이전 항들의 일차결합뿐인 제차 점화식만 다룹니다.

두랑-케르너 반복으로 수치적으로 구하므로 아주 가까운 근들은 갈라내지 못할 수 있습니다. m중근은 오차가 대략 ε^(1/m)이라, 서로 다른 두 근이 상대거리 1e−4보다 가까우면 중근으로 뭉뚱그립니다. 계수가 모두 정수일 때는 정수 근을 정수 연산으로 확인해 딱 떨어지게 맞추며, 검산 오차가 크게 나오면 이 경계에 걸린 경우입니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.