도구스학업·수학

로그평균 부등식 계산기

a, b > 0을 넣으면 로그평균 L(a,b)=(a−b)/(ln a−ln b)이 기하평균과 산술평균 사이(GM ≤ L ≤ AM)에 항상 있다는 부등식을 계산합니다. a=b일 때는 극한값(a 자신)으로 계산합니다.

GM ≤ L ≤ AM

1.648721 ≤ 1.718282 ≤ 1.859141

기하평균 GM = √(ab)1.648721
로그평균 L = (a−b)/(ln a−ln b)1.718282
산술평균 AM = (a+b)/21.859141
로그평균은 항상 기하평균과 산술평균 사이에 있습니다. 1/x가 볼록함수라는 사실에 옌센 부등식(edu/jensen-inequality)을 적용하면 증명됩니다. edu/pythagorean-means의 조화·기하·산술평균에 로그평균을 끼워 넣으면 HM ≤ GM ≤ L ≤ AM 순서가 됩니다.

계산 방법

  1. 10보다 큰 값 a, b를 넣습니다.
  2. 2기하평균 GM=√(ab), 로그평균 L=(a−b)/(ln a−ln b), 산술평균 AM=(a+b)/2를 함께 확인합니다.
  3. 3GM ≤ L ≤ AM 순서가 항상 성립하는 것을 봅니다.
  4. 4a=b를 넣으면 세 값이 모두 같아지는 것을 확인할 수 있습니다.

자주 묻는 질문

a≠b>0일 때 L(a,b) = (a−b)/(ln a − ln b)로 정의되는 평균입니다. a=b이면 이 식이 0/0 꼴이 되는데, 극한을 구하면 L(a,a)=a로 수렴합니다.

기하평균 GM(a,b)=√(ab)과 산술평균 AM(a,b)=(a+b)/2 사이에 로그평균이 항상 있다는 부등식입니다: GM ≤ L ≤ AM. edu/pythagorean-means가 다루는 조화·기하·산술평균 사이에 로그평균이라는 넷째 평균을 끼워 넣는 셈입니다(전체 순서는 HM ≤ GM ≤ L ≤ AM).

L(a,b)는 1/x의 a와 b 사이 적분 평균의 역수로 다시 쓸 수 있습니다(L(a,b) = 1/∫₀¹ dt/(ta+(1−t)b)). 1/x가 볼록함수라는 사실에 옌센 부등식(edu/jensen-inequality)을 적용하면 이 부등식이 나옵니다.

정의식이 0/0 꼴이 되어 직접 계산할 수 없으므로, 로피탈 정리로 구한 극한값(a 자신)을 사용합니다. 이때 GM, L, AM 모두 정확히 a와 같아집니다.

열전달·확산 문제에서 두 온도(또는 농도) 사이의 «평균 구동력»을 나타내는 «로그평균온도차(LMTD)»가 바로 이 로그평균입니다. 두 값의 차이가 지수적으로 변하는 상황에서 산술평균보다 더 정확한 대푯값을 줍니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.

알아두면 좋은 점

  • a, b는 모두 0보다 커야 합니다.

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마지막 검증: 2026년 9월 10일 · 결과는 참고용 추정치입니다.