거듭제곱평균(멱평균) 부등식 계산기

M_p(x) = ((1/n)Σxᵢᵖ)^(1/p)로 정의되는 평균입니다. p=1이면 산술평균, p=-1이면 조화평균, p=2이면 제곱평균(RMS)이 됩니다. p=0은 극한으로 정의하는데 이 값이 정확히 기하평균입니다.

p ≤ q인 임의의 실수 p, q에 대해 M_p(x) ≤ M_q(x)가 항상 성립한다는 부등식입니다. 즉 지수를 키울수록 평균값이 커지거나 같습니다.

p=-1(조화평균) ≤ p=0(기하평균) ≤ p=1(산술평균)이 바로 이 부등식의 특수한 경우입니다. edu/pythagorean-means가 이 세 평균만 계산하는데, 이 도구는 임의의 p, q로 확장한 것입니다. p=1, p=-1, p=0에서 두 계산기의 결과가 정확히 같습니다.

M_p 정의식에 p=0을 그대로 대입하면 0제곱근이 되어 계산할 수 없습니다. 로피탈 정리로 p→0 극한을 구하면 로그값의 평균(기하평균의 정의)으로 수렴하기 때문에, 이 계산기는 p=0을 별도 분기로 처리합니다.

0<p<q인 경우, t^(q/p)가 볼록함수라는 사실에 옌센 부등식(edu/jensen-inequality)을 적용하면 증명됩니다. p<0<q나 음수 지수 사이의 비교도 부호에 따라 볼록/오목이 바뀌는 것을 고려하면 같은 방식으로 증명됩니다.

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