2×2 선형계 안정성(리아푸노프) 판정 계산기

dx/dt=Ax의 특성방정식 λ²−tr(A)λ+det(A)=0을 근의 공식(복소수 포함)으로 풉니다. 두 고유값의 실수부가 모두 음수이면(=원점으로 궤적이 수렴하면) 점근안정입니다. 대수적으로 이 조건은 정확히 tr(A)<0이고 det(A)>0인 것과 같습니다(2차 라우스-후르비츠 판정).

두 고유값의 합이 tr, 곱이 det이기 때문입니다(복소켤레근이면 곱은 |λ|²으로 항상 양수). 실근이든 복소근이든 둘의 실수부가 모두 음수라는 조건이 대수적으로 tr<0, det>0 두 부등식으로 그대로 환원됩니다.

실근이냐 복소근이냐만 가르고, 점근안정 여부 자체에는 영향을 주지 않습니다. 판별식이 양수(실근)면 노드(안정 또는 불안정)나 안장점이 되고, 음수(복소근)면 나선(안정 또는 불안정)이나 중심이 됩니다.

tr=0이고 판별식이 음수(순허수 고유값)인 경우로, 궤적이 원점 둘레의 폐곡선을 그리며 벗어나지 않는다는 뜻에서 리아푸노프 의미로는 안정입니다. 다만 원점으로 다가가지는 않으므로 점근안정은 아닙니다 — 이 계산기는 이 둘을 「한계안정(marginally stable)」으로 따로 표시해 구분합니다.

det(A)<0이면 두 실근의 곱이 음수라는 뜻이라, 부호가 서로 다른 실근(하나는 양수, 하나는 음수)이 나옵니다. 양수인 고유값 방향으로는 궤적이 원점에서 멀어지므로, 다른 방향이 아무리 수렴해도 전체적으로는 항상 불안정입니다.

edu/eigenvalue는 고유값·고유벡터 자체를 구하는 도구입니다. 이 계산기는 그 고유값으로 「원점이 안정한가」, 「평형점이 어떤 모양인가(노드/안장점/나선/중심)」를 분류하는 다음 단계입니다.

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