행렬 지수 e^{At} 계산기

e^{At} = I + At + (At)²/2! + ⋯로 정의되는 행렬입니다. 스칼라 미분방정식 x′ = ax의 해가 x(0)e^{at}인 것처럼, 연립 선형 미분방정식 x′ = Ax의 해가 x(t) = e^{At}·x(0)이 됩니다. 제어공학의 상태천이행렬이 바로 이것입니다.

성분의 부호가 엇갈리면 중간 항이 답보다 훨씬 커졌다가 상쇄되면서 유효숫자가 날아가기 때문입니다. 스칼라로 보면 e^(−30)을 급수로 더할 때 중간 항이 10¹²를 넘는데 답은 10⁻¹⁴라 반올림오차만 남는 것과 같습니다. 행렬에서는 고윳값이 작아도 성분이 클 수 있어 더 나쁩니다. 「행렬 지수를 계산하는 19가지 방법, 25년 뒤」라는 논문 제목이 이 어려움을 그대로 말해 줍니다.

급수는 A가 작을 때만 잘 듣는다는 점을 이용합니다. 지수법칙 e^A = (e^(A/2^s))^(2^s)를 써서, 먼저 A를 반으로 s번 접어 작게 만들고, 작아진 행렬을 계산한 뒤, 결과를 s번 제곱해 되돌립니다. 상쇄가 일어날 만큼 큰 항이 애초에 생기지 않는 것이 이 방법의 값어치입니다.

같은 항수로 더 정확하기 때문입니다. 테일러 급수가 다항식으로 근사하는 것이라면 파데는 유리함수 D⁻¹N으로 근사하는 것이며, 지수함수처럼 한쪽으로 발산하는 함수에서 특히 잘 맞습니다. 이 계산기는 6/6차 파데를 쓰고, 접은 뒤 크기가 0.5 아래라 배정밀도 한계까지 갑니다.

두 값이 전혀 다른 길로 나오기 때문입니다. 왼쪽은 계산된 행렬의 모든 성분을 거쳐 나오고 오른쪽은 원래 행렬의 대각합 하나로 끝납니다. 서로 무관한 두 계산이 맞아떨어지면 중간에 어긋난 곳이 없다는 뜻이 됩니다. 다만 대각합이 크게 음수면 행렬식 자체가 상쇄를 타므로, 상대 차이가 커 보여도 e^{At}가 틀린 것은 아닐 수 있습니다.

아닙니다. AB = BA일 때, 곧 두 행렬이 교환될 때만 성립합니다. 스칼라에서는 늘 맞던 성질이 행렬에서는 깨지는 대표적인 예이며, 이것이 양자역학의 트로터 분해나 수치 적분의 분할법이 필요한 이유입니다. 같은 A끼리는 언제나 교환되므로 e^{A(s+t)} = e^{As}·e^{At}는 늘 성립합니다.

A를 대각화할 수 있다면 e^A = V·diag(e^λ)·V⁻¹로 구할 수 있고 실제로 그것이 가장 이해하기 쉽습니다. 다만 대각화가 안 되는 행렬(중복 고윳값에 고유벡터가 모자란 경우)이 있고, 대각화가 되더라도 V가 거의 특이하면 V⁻¹에서 오차가 폭발합니다. 스케일링–제곱법은 그런 조건을 따지지 않아도 됩니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지며 입력한 행렬은 이 기기에만 남습니다.