메넬라오스의 정리 계산기
삼각형 세 꼭짓점과 한 횡단선이 세 변(또는 그 연장선)을 가르는 부호 있는 비율을 넣으면, 그 교점 X·Y·Z가 실제로 한 직선 위에 있는지 메넬라오스의 정리로 확인합니다. 부호 있는 비율의 곱이 −1인지 보는 계산과, 세 점을 실제 좌표로 공선성 판정하는 계산을 나란히 보여줍니다.
삼각형 세 꼭짓점 A, B, C
횡단선이 변을 나누는 부호 있는 비율 (연장선이면 음수)
X, Y, Z 세 점은
한 직선 위에 있음
점선이 X→Z를 잇는 직선입니다. Y가 그 위에 있는지가 실제 공선성입니다.
계산 방법
- 1삼각형 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 넣습니다.
- 2한 직선(횡단선)이 BC(또는 그 연장선) 위의 점 X, CA(또는 연장선) 위의 점 Y, AB(또는 연장선) 위의 점 Z를 지난다고 보고 BX:XC, CY:YA, AZ:ZB를 부호 있는 비율로 넣습니다 — 두 꼭짓점 사이(안쪽)면 양수, 연장선(바깥쪽)이면 음수입니다.
- 3메넬라오스 곱이 −1이면 X, Y, Z가 한 직선 위에 있습니다. 삼각형 한 변을 지나는 직선은 반드시 다른 한 변은 연장선에서 만난다는 것도 함께 확인해 보세요.
자주 묻는 질문
삼각형 ABC를 가로지르는 직선(횡단선)이 변 BC(또는 연장선)와 X, CA(또는 연장선)와 Y, AB(또는 연장선)와 Z에서 만난다고 할 때, 부호 있는 비율로 (BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB) = −1이 성립하는 것은 X, Y, Z가 한 직선 위에 있을 때뿐이라는 정리입니다. 고대 그리스 천문학자 메넬라오스(1세기경)의 이름을 땄습니다.
점이 두 꼭짓점 "사이"(선분 안쪽)에 있으면 비율을 양수로, 연장선(바깥쪽)에 있으면 음수로 씁니다. 예를 들어 BX:XC = 2(양수)면 X는 BC 사이에 있고, −2면 X는 BC의 연장선 위에 있습니다.
식의 모양은 똑같이 생겼지만 등호 오른쪽 부호가 다릅니다 — 체바의 정리(세 세비안이 한 점에서 만남)는 +1, 메넬라오스의 정리(횡단선 위의 공선점)는 −1입니다. 기하학적으로도 다릅니다: 체바는 꼭짓점에서 대변으로 그은 세 선(세비안)이 한 점에서 만나는지를 보고, 메넬라오스는 삼각형을 가로지르는 한 직선이 세 변(의 연장선 포함)과 만나는 점들이 일직선인지를 봅니다.
삼각형은 볼록도형이라 직선 하나는 그 경계를 최대 두 점에서만 지날 수 있습니다(들어가고 나가고). 세 변 모두와 만나려면 적어도 한 변은 반드시 연장선에서 만나야 하므로, 비율 세 개 중 하나 또는 셋 모두가 음수여야 합니다.
전자는 곱셈 한 번이지만, 후자는 부호 있는 비율로 X, Y, Z 세 점의 실제 좌표를 구한 뒤 세 점이 한 직선 위에 있는지(공선성)를 좌표 기하로 확인하는 계산이라 방법이 완전히 다릅니다. 서로 다른 두 계산이 항상 같은 결론을 내는지 대조해 검산했습니다.
알아두면 좋은 점
- 검증: 무작위 삼각형·비율 300벌에서 메넬라오스 곱이 정확히 −1이 되도록 역산한 경우 실제로도 한 직선 위에 있는지, 완전히 무작위인 비율(곱이 −1이 아닌 경우) 300벌에서는 그렇지 않은지를 자동 테스트로 확인했습니다. 세 비율이 모두 1(중점)이면 곱이 +1(체바 쪽 조건)이 되어 세 중점이 결코 일직선이 될 수 없다는 사실도 함께 확인했습니다.
- 부호 있는 비율(연장선 포함)을 다루므로, 입력한 비율에 따라 X·Y·Z 점이 화면에 그려진 삼각형 바깥에 놓일 수 있습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 6일 · 결과는 참고용 추정치입니다.