프톨레마이오스 부등식·정리 계산기
사각형 네 꼭짓점 좌표를 넣으면 두 대각선의 곱과 마주보는 변끼리 곱의 합을 견줍니다. 둘이 같으면 네 점이 한 원 위에 있다는 뜻이고, 그렇지 않으면 대각선의 곱이 항상 더 작다는 프톨레마이오스 부등식으로 원에 얼마나 가까운지를 봅니다.
네 점을 A→B→C→D 순서로(볼록하게 둘러가도록)
AC·BD 대 AB·CD+AD·BC
같다 → 네 점이 한 원 위에 있음
점선 두 개가 대각선 AC·BD입니다. 대각선 곱이 마주보는 변끼리 곱의 합과 같아지는 건 네 점이 한 원 위에 있을 때뿐입니다.
계산 방법
- 1사각형 네 꼭짓점을 A→B→C→D 순서로, 볼록하게 둘러가도록 좌표를 넣습니다(순서를 뒤섞으면 결과가 달라집니다).
- 2결과에서 대각선의 곱(AC·BD)과 마주보는 변끼리 곱의 합(AB·CD+AD·BC)을 견줍니다.
- 3두 값이 같으면 네 점이 한 원 위에 있다는 뜻입니다. 「원 위의 사각형」 예제로 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
원에 내접하는 사각형 ABCD에서는 항상 대각선의 곱 AC·BD가 마주보는 변끼리 곱의 합 AB·CD+AD·BC와 정확히 같다는 정리입니다(150년경 프톨레마이오스). 예를 들어 3-4-5 직사각형(모든 직사각형은 원에 내접)에서는 대각선 곱 5×5=25가 4×4+3×3=25와 정확히 같습니다.
이때는 등식이 아니라 부등식(프톨레마이오스 부등식)이 됩니다 — AC·BD ≤ AB·CD+AD·BC로, 대각선의 곱이 항상 우변보다 작거나 같습니다. 네 점이 한 원(또는 직선)에 가까울수록 두 값의 차이가 작아지고, 정확히 원 위에 있을 때만 차이가 0(등식)이 됩니다.
부등식 좌우 값을 비교하는 것과, A·B·C 세 점의 외접원을 구해 D가 그 위에 있는지 거리로 직접 확인하는 것 — 완전히 다른 두 방법으로 판정한 뒤 서로 일치하는지를 자동 테스트로 확인했습니다.
프톨레마이오스 부등식은 네 점을 A→B→C→D 순서로 사각형을 그렸을 때의 대각선(AC, BD)과 변(AB, BC, CD, DA)을 기준으로 합니다. 순서를 뒤섞으면 어느 선분이 "대각선"이고 어느 것이 "변"인지가 달라져 결과도 달라집니다. 네 점을 원 둘레를 따라가는 순서(시계 또는 반시계 방향)로 넣어야 합니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 검증: 3-4-5 직사각형(모든 직사각형은 원에 내접 — 손으로 계산 가능)에서 등식이 정확히 성립하는지 먼저 확인했습니다. 이어 단위원 등 여러 원 위에 무작위로 찍은 네 점 200~300벌에서 등식이, 완전히 무작위인 네 점 300벌에서 부등식(대각선 곱 ≤ 변 곱의 합)이 항상 성립하는지, 그리고 등호 판정이 외접원 위에 있는지 판정과 항상 일치하는지를 자동 테스트로 확인했습니다.
- 꼭짓점을 A→B→C→D 원둘레 순서가 아니라 뒤섞어 넣으면(예: 대각선끼리 자기 교차하는 순서) 부등식이 반대로 보일 수 있습니다 — 이런 경우 안내 문구를 보여줍니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 6일 · 결과는 참고용 추정치입니다.