민코프스키 부등식 계산기

p ≥ 1인 임의의 p에 대해 ‖x+y‖ₚ ≤ ‖x‖ₚ + ‖y‖ₚ가 항상 성립한다는 부등식입니다. 여기서 ‖v‖ₚ = (Σ|vᵢ|ᵖ)^(1/p)는 벡터 v의 Lp노름입니다. p를 무엇으로 두든 "두 벡터를 합친 노름은 각 노름의 합을 넘지 않는다"는 삼각부등식이 성립한다는 뜻입니다.

p=2를 넣은 경우가 바로 그것입니다. 원점, x, x+y 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형에서 한 변(‖x+y‖₂)의 길이는 나머지 두 변(‖x‖₂, ‖y‖₂)의 길이의 합을 넘을 수 없다는, 중학교 기하에서 배우는 바로 그 삼각부등식과 정확히 같은 식입니다.

p=1이면 ‖x+y‖₁ = Σ|xᵢ+yᵢ|인데, 각 성분에서 절댓값의 삼각부등식 |a+b| ≤ |a|+|b|가 성립하므로 이를 모든 성분에서 더하면 Σ|xᵢ+yᵢ| ≤ Σ|xᵢ|+Σ|yᵢ| = ‖x‖₁+‖y‖₁이 바로 나옵니다.

‖x+y‖ₚᵖ = Σ|xᵢ+yᵢ|ᵖ⁻¹·|xᵢ+yᵢ|를 |xᵢ|·|xᵢ+yᵢ|ᵖ⁻¹ 부분과 |yᵢ|·|xᵢ+yᵢ|ᵖ⁻¹ 부분으로 나눈 뒤, 각각에 지수 (p, q=p/(p-1))로 횔더 부등식(edu/holder-inequality)을 적용하면 ‖x+y‖ₚᵖ ≤ (‖x‖ₚ+‖y‖ₚ)·‖x+y‖ₚᵖ⁻¹가 나옵니다. 양변을 ‖x+y‖ₚᵖ⁻¹로 나누면 민코프스키 부등식이 됩니다.

한 벡터가 다른 벡터의 음이 아닌 배수일 때(y = k·x, k ≥ 0, 또는 둘 중 하나가 영벡터일 때) 성립합니다. 두 벡터가 "같은 방향"을 가리킬 때만 삼각형이 찌그러져 한 직선이 되면서 등호가 됩니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.