몬테카를로 적분 계산기
함수를 구간에서 난수로 표본을 뽑아 평균×폭으로 적분값을 추정합니다. 표본 수를 늘릴 때 오차가 1/√n로만 줄어드는 것을 사다리꼴·심프슨 같은 결정론적 방법과 비교해 보여줍니다.
쓸 수 있는 것: + − × ÷ ^ · 괄호 · sin cos tan · exp ln sqrt abs · 상수 pi, e.
몬테카를로 추정값
1.9984073
표준오차 ±0.0097198318 · 표본 10,000개
같은 정도의 함수 호출 횟수로 결정론적 방법과 비교하면
표본을 늘려 보면 — 오차가 1/√n로만 줄어듭니다
| 표본 수 | 추정값 | 표준오차 |
|---|---|---|
| 100 | 1.8734368 | ±0.10183256 |
| 1,000 | 1.9924601 | ±0.030486121 |
| 10,000 | 1.9745305 | ±0.0098098957 |
표본을 100배 늘려야 표준오차가 10분의 1로 줍니다 — 사다리꼴(구간을 2배로 촘촘히 하면 오차가 1/4)이나 심프슨(1/16)보다 훨씬 느립니다.
계산 방법
- 1적분할 함수와 구간 [a, b]를 정합니다.
- 2표본 수를 넣습니다.
- 3추정값과 표준오차, 사다리꼴·심프슨과의 비교를 확인합니다.
자주 묻는 질문
구간 안에서 점을 무작위로 뽑아 함수값의 평균을 낸 뒤 구간 폭을 곱해 적분값을 추정하는 방법입니다. ∫ₐᵇf(x)dx ≈ (b−a)·평균(f(x))로, edu/numerical-integration의 중점 공식과 «평균 높이 × 폭»이라는 발상은 같지만 표본 위치를 격자로 고정하는 대신 무작위로 뽑는다는 것이 다릅니다.
뽑은 표본들의 표본표준편차를 s라 하면, 적분 추정값의 표준오차는 (b−a)·s/√n입니다. 표본 수를 100배로 늘려야 오차가 10분의 1로 줄어드는데, 이는 사다리꼴(오차가 격자를 2배로 촘촘히 하면 1/4)이나 심프슨(1/16)보다 훨씬 느립니다.
이 수렴 속도(1/√n)는 차원이 늘어도 그대로 유지됩니다. 반면 격자 방법은 차원마다 격자점 수가 곱해져(d차원에서 격자점이 n^d개) 계산량이 지수적으로 늘어납니다. 그래서 변수가 몇 개뿐인 적분은 결정론적 방법이 압도적으로 빠르지만, 변수가 아주 많은 고차원 적분(재무공학의 옵션 가격 계산 등)에서는 몬테카를로가 사실상 유일한 실용적 방법입니다.
edu/monte-carlo-pi는 원 안/밖 판정 하나로 원주율만 추정하는 특수 사례 데모입니다. 이 도구는 사용자가 넣은 임의의 함수를 적분하는 일반화된 버전이라, 표준오차·수렴 속도 비교 같은 몬테카를로 적분의 일반적인 성질을 다룹니다.
알아두면 좋은 점
- 결과는 난수 표본에 따라 실행할 때마다 달라집니다. 같은 함수·구간·표본 수를 넣어도 매번 값이 조금씩 다릅니다.
- 표준오차는 이론적 상한이 아니라 실제로 뽑힌 표본에서 계산한 추정값입니다. 표본이 아주 적으면 이 추정 자체도 부정확할 수 있습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 3일 · 결과는 참고용 추정치입니다.