몰리의 정리(삼등분선 정삼각형) 계산기
삼각형의 세 변 길이를 입력하면, 세 내각을 삼등분한 선들이 서로 이웃한 것끼리 만나 이루는 작은 정삼각형(몰리 삼각형)의 한 변 길이와 넓이를 계산합니다.
몰리 삼각형 한 변
0.647518
넓이 0.181553
∠A / ∠B / ∠C36.87° / 53.13° / 90°
원래 삼각형 넓이6
외접원 반지름 R2.5
검산 — 실제 교점 간 거리(세 값이 모두 같아야 함)0.647518 / 0.647518 / 0.647518
몰리의 정리 — 세 내각을 삼등분한 선들 중 서로 이웃한 것끼리 만나는 세 교점(파란 점)은 원래 삼각형의 모양과 무관하게 항상 정삼각형을 이룹니다. 한 변의 길이는 L = 8R·sin(A/3)·sin(B/3)·sin(C/3)로 바로 구해집니다(R은 외접원 반지름).
그림의 파란 삼각형은 위 폐형식과는 별도로, 실제 여섯 개의 삼등분선을 좌표로 계산해 이웃한 것끼리 교차시켜 얻은 진짜 교점입니다. 위 «검산용» 값 세 개가 모두 같고 상단의 몰리 삼각형 변 길이와도 일치하는 것으로 두 계산 방법이 서로 맞는다는 것을 확인할 수 있습니다.
계산 방법
- 1삼각형의 세 변 길이 a, b, c를 입력합니다(삼각형 부등식을 만족해야 합니다).
- 2원래 삼각형의 세 내각과 외접원 반지름이 먼저 계산됩니다.
- 3세 내각을 삼등분한 선 중 이웃한 것끼리 만나 이루는 정삼각형(몰리 삼각형)의 한 변 길이와 넓이를 확인합니다.
- 4그림에서 원래 삼각형(굵은 선)과 그 안의 몰리 삼각형(채운 삼각형)의 위치 관계를 봅니다.
자주 묻는 질문
어떤 삼각형이든 세 내각을 각각 삼등분하는 선을 그으면, 서로 이웃한 삼등분선끼리 만나는 세 교점이 항상 정삼각형을 이룬다는 정리입니다. 1899년 수학자 프랭크 몰리가 발견했습니다.
네. 예각·둔각·직각삼각형은 물론 부등변삼각형에서도 항상 성립합니다. 이 계산기의 «둔각삼각형» 예시로 직접 확인할 수 있습니다.
L = 8R·sin(A/3)·sin(B/3)·sin(C/3) 폐형식으로 구합니다. R은 원래 삼각형의 외접원 반지름, A·B·C는 원래 삼각형의 세 내각입니다. 좌표를 몰라도 변 길이와 각도만으로 바로 계산됩니다.
위 폐형식과는 별도로, 실제 여섯 개의 삼등분선을 좌표로 계산해 이웃한 것끼리 교차시켜 얻은 실제 교점 좌표를 그립니다. 두 방법(폐형식과 실제 교차)이 내는 변 길이가 항상 일치한다는 것을 자체 테스트로 확인해 두었습니다.
네. 정삼각형(세 각이 모두 60°)을 넣으면 L = 8R·sin³(20°) ≈ 0.185R인데, 정삼각형의 한 변은 R√3 ≈ 1.73R이므로 몰리 삼각형은 원래 변 길이의 약 10분의 1 수준입니다. 세 삼등분선의 교점이 삼각형 안쪽 깊숙한 곳에서 만나기 때문입니다.
알아두면 좋은 점
- 삼등분선의 실제 교차 계산은 정의 그대로(각 꼭짓점에서 이웃 변 방향을 회전) 구현했습니다 — 삼선좌표를 이용한 더 짧은 공식도 있지만 검산이 어려워 쓰지 않았습니다.
- 입력한 세 변으로 삼각형이 만들어지지 않으면(삼각형 부등식 위반) 계산할 수 없습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 7일 · 결과는 참고용 추정치입니다.