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나폴레옹의 정리 계산기

삼각형의 세 변 길이를 입력하면, 각 변 바깥쪽에 세운 정삼각형 세 개의 중심을 이어 만든 «외측 나폴레옹 삼각형»의 한 변 길이와 넓이를 계산합니다.

나폴레옹 삼각형 한 변

3.906602

넓이 6.608439

원래 삼각형 넓이6
검산 — 실제 무게중심 간 거리(세 값이 모두 같아야 함)3.906602 / 3.906602 / 3.906602
나폴레옹의 정리 — 원래 삼각형(굵은 선)의 세 변 바깥쪽에 세운 정삼각형(옅은 채움) 세 개의 무게중심(파란 점)을 이으면, 원래 삼각형의 모양과 무관하게 항상 정삼각형(점선)이 됩니다. 한 변의 길이는 L = √((a²+b²+c²)/6 + 2K/√3)로 바로 구해집니다(K는 원래 삼각형의 넓이).
그림의 점선 삼각형은 위 폐형식과는 별도로, 실제 세 변 위에 바깥쪽 정삼각형을 좌표로 세워 얻은 진짜 무게중심입니다. 위 «검산» 값 세 개가 모두 같고 상단의 나폴레옹 삼각형 변 길이와도 일치하는 것으로 두 계산 방법이 서로 맞는다는 것을 확인할 수 있습니다.

계산 방법

  1. 1삼각형의 세 변 길이 a, b, c를 입력합니다(삼각형 부등식을 만족해야 합니다).
  2. 2세 변 각각의 바깥쪽에 정삼각형을 하나씩 세운 뒤, 그 세 정삼각형의 중심(무게중심)을 잇습니다.
  3. 3이렇게 만들어진 삼각형(외측 나폴레옹 삼각형)의 한 변 길이와 넓이를 확인합니다.
  4. 4그림에서 원래 삼각형(굵은 선), 바깥쪽 정삼각형 세 개, 그 중심을 잇는 나폴레옹 삼각형(점선)의 관계를 봅니다.

자주 묻는 질문

어떤 삼각형이든 세 변 위에 바깥쪽으로 정삼각형을 하나씩 세우고, 그 세 정삼각형의 중심(무게중심)을 이으면 원래 삼각형의 모양과 무관하게 항상 정삼각형이 된다는 정리입니다. 나폴레옹 보나파르트가 발견했다는 이야기가 전해지지만 실제 증명자인지는 확인되지 않았습니다.

네. 예각·둔각·직각삼각형은 물론 부등변삼각형에서도 항상 성립합니다. 이 계산기의 «둔각삼각형» 예시로 직접 확인할 수 있습니다.

L = √((a²+b²+c²)/6 + 2K/√3) 폐형식으로 구합니다. a,b,c는 원래 삼각형의 세 변, K는 원래 삼각형의 넓이입니다. 좌표를 몰라도 변 길이만으로 바로 계산됩니다.

나폴레옹 삼각형도 원래 삼각형과 똑같은 변 길이를 갖습니다. 대칭성 때문에 세 무게중심이 원래 정삼각형과 합동인 정삼각형을 이루기 때문입니다 — «정삼각형» 예시로 확인해 보세요.

네, 둘 다 "임의의 삼각형에서 항상 정삼각형이 나온다"는 결론은 같지만 만드는 방법이 다릅니다. 몰리의 정리는 세 내각을 삼등분한 선의 교점을 쓰고, 나폴레옹의 정리는 세 변 바깥에 세운 정삼각형의 중심을 씁니다. edu/morley-triangle에서 몰리의 정리를 계산할 수 있습니다.

위 폐형식과는 별도로, 실제 세 변 위에 바깥쪽 정삼각형을 좌표로 세우고 그 무게중심 좌표를 계산해 그립니다. 두 방법(폐형식과 실제 작도)이 내는 변 길이가 항상 일치한다는 것을 자체 테스트로 확인해 두었습니다.

알아두면 좋은 점

  • 이 계산기는 «외측» 나폴레옹 삼각형만 다룹니다. 변 안쪽으로 정삼각형을 세우는 «내측» 나폴레옹 삼각형은 다루지 않습니다.
  • 입력한 세 변으로 삼각형이 만들어지지 않으면(삼각형 부등식 위반) 계산할 수 없습니다.

함께 보면 좋은 도구

삼각형 계산세 변의 길이를 입력하면 삼각형의 넓이·둘레·세 각도를 계산합니다(헤론의 공식·코사인 법칙).외접원·내접원·구점원삼각형 세 꼭짓점 좌표를 넣으면 외접원·내접원·구점원의 중심 좌표와 반지름, 수심과 오일러선까지 계산합니다.몰리의 정리삼각형의 세 변 길이를 입력하면, 세 내각을 삼등분한 선들이 서로 이웃한 것끼리 만나 이루는 작은 정삼각형(몰리 삼각형)의 한 변 길이와 넓이를 계산합니다.죄수와 상자죄수 수와 열 수 있는 상자 수를 넣으면 아무 상자나 여는 전략과 사이클을 따라가는 전략의 전원 성공 확률을 각각 구합니다.15퍼즐 판정슬라이딩 퍼즐 배치를 넣으면 아무리 밀어도 맞출 수 있는 배치인지 판정합니다.

마지막 검증: 2026년 9월 7일 · 결과는 참고용 추정치입니다.