곡선 적합 계산기

직선(y = a + bx), 2차 곡선(y = a + bx + cx²), 지수(y = a·e^(bx)), 거듭제곱(y = a·x^b), 로그(y = a + b·ln x) 다섯 가지입니다. 지수는 y가 모두 0보다 커야 하고, 거듭제곱은 x와 y가 모두 0보다 커야 하며, 로그는 x가 0보다 커야 합니다. 로그를 취해 계산하기 때문이고, 조건에 맞지 않는 모형은 계산하지 않고 그 이유를 표시합니다.

로그 선형화를 썼는지 비선형 반복법을 썼는지의 차이입니다. 이 계산기는 양변에 로그를 취해 ln y = ln a + bx라는 직선으로 바꿔 푸는 교과서 방식을 씁니다. 손으로도 풀 수 있는 대신, 이렇게 구한 계수는 원래 공간에서 잔차제곱합을 최소로 만드는 값이 아닙니다. 가우스-뉴턴 같은 비선형 반복법을 쓰는 프로그램은 조금 다른 계수를 냅니다.

오차의 가중치가 달라지기 때문입니다. 로그를 취하면 큰 y의 오차는 눌리고 작은 y의 오차는 부풀려집니다. y = 1000에서 100만큼 틀리는 것은 로그로 0.095지만, y = 10에서 2만큼 틀리는 것은 0.18입니다. 뒤쪽을 더 나쁘게 보는 셈이라, 작은 값 쪽에 잘 맞고 큰 값 쪽이 밀리는 곡선이 나옵니다.

그렇지 않습니다. 2차 곡선의 R²는 언제나 직선 이상인데, 계수가 하나 더 있으니 당연한 것이지 더 나은 설명이라는 뜻이 아닙니다. 자료가 어떤 꼴이어야 하는지를 먼저 정하고 그다음에 R²를 보는 순서가 맞습니다. 세균이 자라는 자료라면 지수가, 크기의 거듭제곱을 따르는 자료라면 거듭제곱이 옳은 출발점입니다.

평균선보다도 못 맞췄다는 뜻입니다. 이 계산기는 R²를 로그 공간이 아니라 원래 공간에서 실제 y와 예측 y로 계산하는데, 비선형 모형에서는 이 값이 음수가 될 수 있습니다. 로그 공간에서 재면 지수 모형의 R²가 부풀려져 다른 모형과 비교할 수 없게 되기 때문에 일부러 이렇게 했습니다. 음수가 나왔다면 그 모형은 자료에 맞지 않는 것입니다.

권하지 않습니다. 적합은 넣은 자료의 범위 안에서만 뜻이 있습니다. 특히 지수 모형은 범위를 조금만 벗어나도 값이 몇 배로 뛰어서, x를 두 배로 늘리면 예측값이 수십 배가 되기도 합니다. 자료 범위 밖은 곡선의 모양이 실제와 같다는 보장이 전혀 없습니다.