파데 근사 계산기

분모가 있다는 것이 다릅니다. 테일러 다항식은 어디서나 유한한 값을 내므로 1/(1−x)처럼 어느 지점에서 무한대로 가는 함수를 그 근처에서 흉내 낼 수 없지만, 파데는 분모가 0이 되는 자리를 만들어 그 발산을 직접 표현합니다. 그래서 수렴 반경 밖에서도 값을 냅니다 — ln(1+x)를 x=2에서 계산하면 테일러는 10차를 써도 크게 어긋나지만 [5/5] 파데는 소수 둘째 자리까지 맞습니다.

Q(x)와 테일러 급수를 곱한 것이 P(x)가 되도록 차수별로 맞춥니다. q₀ = 1로 두면 m+1차부터 m+n차까지의 자리에서 Σ q_j·c_(m+k−j) = −c_(m+k) 라는 n원 연립일차방정식이 나오고, 이것을 풀면 분모가 정해집니다. 분자는 p_k = Σ q_j·c_(k−j)로 따라 나옵니다.

파데를 다시 멱급수로 펼쳐 원래 계수와 m+n차까지 같은지 보면 됩니다. 이 계산기는 그 차수를 «원래 계수와 맞는 최고 차수»로 보여 줍니다. 손으로 확인할 수 있는 값도 있는데, eˣ의 [1/1] 파데는 (2+x)/(2−x)이고 1/(1−x)의 [0/1] 파데는 근사가 아니라 1/(1−x) 그 자체가 되어 오차가 0입니다.

아닙니다. 특이점이 없는 함수에서는 낮은 차수의 파데가 오히려 나쁠 수 있습니다. eˣ의 [2/2] 파데는 x=3에서 4차 테일러보다 오차가 큽니다. 더 심한 경우로 eˣ의 [1/1] 파데는 x=2에서 분모가 0이 되어 무한대로 튀는데 실제 eˣ는 7.389일 뿐입니다. 특이점이 있는 함수(1/(1−x), ln(1+x))에서 특히 강합니다.

원래 함수에는 없는데 근사가 만들어 낸 극입니다. 위의 eˣ [1/1]이 x=2에 갖는 극이 그렇습니다. 분자에 거의 같은 위치의 근이 함께 생겨 서로 상쇄되는 형태로 나타나기도 하는데, 이것을 프루아사르 이중항(Froissart doublet)이라고 부릅니다. 차수를 하나 바꿨을 때 극이 크게 움직이면 가짜로 의심하고, 원래 함수의 특이점 자리에 그대로 머무르면 제대로 잡은 것으로 봅니다.

그 차수 조합의 파데가 존재하지 않는 경우입니다. 분모를 푸는 연립방정식의 계수행렬이 특이하면 해가 없으며, 1 + x²의 [1/1]이 그런 예로 0·q₁ = −1이 되어 버립니다. 계산기의 문제가 아니라 그 자리가 비어 있는 것이므로 분자나 분모 차수를 하나 옮기시면 대개 풀립니다.

특별한 이유가 없다면 m과 n을 같게 두는 대각 파데가 무난합니다. 함수가 큰 x에서 상수에 가까워진다면 분모 차수를 분자보다 높이고, 다항식처럼 계속 커진다면 분자를 높이는 식으로 함수의 «큰 x에서의 모양»에 맞추는 것이 요령입니다. n을 0으로 두면 그냥 테일러 다항식이 됩니다.

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