파레토분포 계산기(80/20 법칙)

척도(x_m)와 형상(α)을 넣으면 파레토분포의 확률밀도·누적확률·평균·분산을 계산합니다.

형상(α) 프리셋

척도 (x_m, 최솟값)

형상 (α)

계산할 값 (x)

x_m(1) 이상이어야 합니다

누적확률 P(X ≤ x)

55.28%

P(X > x) = 44.72%, 확률밀도 f(x) = 0.2596

확률밀도 f(x)0.259601

누적확률 F(x)55.28%

생존확률 P(X>x)44.72%

중앙값1.8167

평균7.2112

분산발산(무한대)

F(x) = 1 − (x_m/x)^α입니다. α가 작을수록 꼬리가 길어져(극단값이 자주 나와) 불평등이 심한 분포이고, α가 클수록 x_m 근처에 값이 몰립니다. «80/20 법칙»은 α≈1.161인 경우에 대응합니다.

평균은 α>1일 때만, 분산은 α>2일 때만 유한한 값을 갖습니다. 그 이하에서는 이론적으로 발산(무한대)합니다 — 극단값의 영향이 매우 크다는 뜻입니다.

계산 방법

전체 중 일부 소수가 대부분을 차지하는 현상(소득 불평등, 도시 인구, 파일 크기 등)을 설명하는 고전적 거듭제곱(power-law) 분포입니다. 척도 x_m(최솟값)과 형상 α 두 매개변수로 정의됩니다.

"전체 결과의 80%가 원인의 20%에서 나온다"는 80/20 법칙은 형상 α = log(5)/log(4) ≈ 1.161인 파레토분포에 정확히 대응합니다. 프리셋으로 바로 선택할 수 있습니다.

평균은 α가 1보다 클 때만, 분산은 α가 2보다 클 때만 유한한 값을 갖습니다. 그 이하에서는 극단값의 영향이 너무 커서 이론적으로 평균·분산이 무한대로 발산합니다. α가 작을수록(꼬리가 길수록) 이런 극단적인 성질이 강해집니다.

α가 작을수록 큰 값이 자주 나타나는 긴 꼬리를 갖고(불평등이 심함), α가 클수록 값이 척도(x_m) 근처에 몰려 분포가 상대적으로 균등해집니다.

공식: PDF f(x)=α·x_m^α/x^(α+1), CDF F(x)=1−(x_m/x)^α, 평균=α·x_m/(α−1)(α>1), 분산=x_m²·α/((α−1)²(α−2))(α>2). 모두 x≥x_m 구간에서 정의됩니다.
Vilfredo Pareto(1896)의 원 정의이며 모든 확률통계 교재가 동일하게 서술하는 폐형식 수식입니다.
입력값은 서버로 전송되지 않습니다.

마지막 검증: 2026년 9월 5일 · 결과는 참고용 추정치입니다.