부분분수 분해 계산기

분모를 인수분해한 뒤 각 인수마다 항을 세우고, 통분해서 분자를 맞추는 연립방정식을 풉니다. (x−a) 인수에는 A/(x−a)를, (x−a)^m처럼 중근이면 A₁/(x−a)부터 A_m/(x−a)^m까지를, 실근이 없는 2차 인수에는 (Cx+D)/(x²+px+q)를 세웁니다. 예를 들어 (3x+11)/((x−3)(x+2))는 4/(x−3) − 1/(x+2)로 쪼개집니다.

먼저 다항식 나눗셈을 해야 합니다. 분자 차수가 분모 이상이면 부분분수 꼴로 쓸 수 없기 때문입니다. 나눗셈을 하면 몫이 다항식으로 떨어져 나오고 나머지만 진분수가 되므로, 그 나머지를 쪼갭니다. (x³+1)/(x²−1)이라면 몫 x와 나머지 (x+1)/(x²−1)로 나뉩니다. 이 계산기는 이 과정을 자동으로 처리하고 몫을 함께 보여 줍니다.

지수만큼 항을 모두 세웁니다. (x−2)³이 분모에 있다면 A/(x−2) + B/(x−2)² + C/(x−2)³ 세 항이 필요합니다. 마지막 항 하나만 세우면 미지수가 모자라 연립방정식이 풀리지 않습니다. 헷갈리기 쉬운 부분이라 이 계산기는 지수를 세어 항을 자동으로 만들어 줍니다.

실근이 없는 2차 인수는 그대로 두고 분자를 1차식으로 세웁니다. 즉 (Cx+D)/(x²+1) 꼴입니다. 상수 하나로는 미지수가 모자라기 때문입니다. 라플라스 역변환에서는 이 항이 사인·코사인으로 바뀌므로, 이런 형태를 그대로 남기는 것이 오히려 편합니다.

소수로 계산하면 오차가 누적되어 답을 신뢰할 수 없기 때문입니다. 1/3을 0.3333으로 두면 연립방정식을 소거하는 과정에서 오차가 쌓이고, 결과가 −0.0000000001처럼 나와 0인지 아닌지 판단할 수 없게 됩니다. 이 계산기는 분자와 분모를 정수쌍으로 들고 다니며 매 연산마다 기약분수로 줄이므로 결과가 정확합니다.

유리근이 없고 3차 이상이 남는 분모입니다. 예를 들어 x⁴ + x + 1은 유리근 정리로 근을 찾을 수 없고 2차로도 떨어지지 않아, 초등적인 인수분해 자체가 불가능합니다. 이런 경우에는 수치적으로 근을 구한 뒤 근사 분해를 해야 하며 이 계산기의 범위 밖입니다.