도구스학업·수학

양자 터널링 투과율 계산기

사각 장벽의 투과계수를 닫힌 식으로 계산합니다. 에너지가 장벽보다 낮아도 지나가는 터널 효과와, 반대로 넘고도 반사되는 것, 특정 에너지에서 반사가 0이 되는 공명까지 함께 냅니다.

전자 질량의 1배 · 무거울수록 파동함수가 빨리 잦아들어 잘 못 지나갑니다

eV
eV

금속 표면이면 일함수(4~5 eV)쯤입니다.

nm

0.1 nm가 원자 하나 크기쯤입니다.

투과율 T

2.3547%

고전역학이라면 0%입니다 — 에너지가 장벽보다 1 eV 모자랍니다

반사율 R = 1 − T97.6453%
감쇠상수 κ5.1232 nm⁻¹
감쇠 길이 1/κ — 파동함수가 1/e로 줄어드는 거리0.1952 nm
κa (근사가 통하는지 판단하는 값)2.5616
고전역학이 말하는 투과율0%
두께를 1 nm로 두 배 하면0.0142%
두께 두 배일 때의 배율0.006배
1 Å(0.1 nm) 두꺼워질 때마다0.3589배
얇은 장벽 근사 16E(V₀−E)/V₀²·e^(−2κa)2.3829%
근사가 정확식에서 벗어난 정도1.195%
계산 근거T = [1 + V₀²·sinh²(κa) / (4E(V₀−E))]⁻¹, κ = √(2m(V₀−E))/ℏκa = 5.1232 nm⁻¹ × 0.5 nm = 2.5616두 식은 같은 하나입니다. κ가 허수가 되면 sinh가 sin이 되기 때문입니다. E = V₀에서는 양쪽 모두 0/0이 되므로 극한식을 따로 씁니다.
벽 안에서 파동함수가 0이 되지 않습니다. 장벽 안에서 e의 −κx제곱으로 잦아들 뿐이라, 벽이 얇으면 반대쪽에 닿았을 때 아직 0이 아니어서 그만큼이 새어 나갑니다. 입자가 벽 안에 잠깐 에너지를 빌려 있는 것이 아니라, 애초에 위치가 한 점이 아니라는 파동의 성질에서 나오는 결과입니다.
두께가 두 배가 되면 투과율은 제곱으로 떨어집니다. 두꺼운 장벽에서 T가 e의 −2κa제곱에 비례하므로 두께가 두 배면 지수가 두 배, 곧 값이 제곱이 됩니다. STM이 원자 한 층의 요철을 읽는 것이 이 덕분입니다 — 일함수 4 eV면 탐침이 1옹스트롬 멀어질 때마다 전류가 약 8분의 1이 되어, 높이를 재는 대신 전류의 자릿수를 읽습니다.
넘고도 되돌아오는 쪽이 오히려 더 낯섭니다. 에너지가 장벽보다 높아도 반사가 일어납니다. 장벽의 모서리에서 파동의 임피던스가 갑자기 바뀌기 때문이며, 빛이 유리 표면에서 일부 반사되는 것과 같은 이치입니다. 위에서 E를 V₀보다 크게 넣어 보면 투과율이 1보다 작게 나옵니다.
그런데 특정 에너지에서는 반사가 정확히 0이 됩니다. 장벽 두께에 반파장이 정수 개 들어가(k₂a = nπ) 앞뒤 모서리에서 반사된 파동이 서로 상쇄되기 때문입니다. 느린 전자가 기체 원자를 그냥 통과해 버리는 램자우어–타운센드 효과와, 렌즈의 반사방지 코팅이 모두 같은 현상입니다.
높이가 일정한 사각 장벽만 다룹니다. 실제 장벽은 모양이 있어 WKB 근사로 지수 안을 적분해야 합니다. 알파 붕괴의 쿨롱 장벽처럼 모양이 중요한 경우에는 규모를 가늠하는 용도로만 보시기 바랍니다. 상대론 효과도 넣지 않은 비상대론 슈뢰딩거 방정식의 해입니다.

계산 방법

  1. 1입자를 고르고 에너지 E와 장벽 높이 V₀, 두께 a를 넣습니다.
  2. 2E < V₀면 고전적으로 지나갈 수 없는 경우입니다. 그래도 나오는 투과율이 터널 효과입니다.
  3. 3E > V₀로 올리면 넘고도 반사가 일어나는 것과, 특정 에너지에서 반사가 0이 되는 공명을 볼 수 있습니다.
  4. 4두께를 두 배로 해 보면 투과율이 지수적으로 떨어지는 것이 확인됩니다.

자주 묻는 질문

사각 장벽에서는 T = [1 + V₀²sinh²(κa) / (4E(V₀−E))]⁻¹입니다. κ = √(2m(V₀−E))/ℏ는 장벽 안에서 파동함수가 잦아드는 빠르기입니다. 에너지가 장벽보다 높으면 sinh 자리에 sin이 들어가고 (V₀−E)는 (E−V₀)가 됩니다.

장벽 안에서 파동함수가 0이 되지 않고 e의 −κx제곱으로 잦아들 뿐이기 때문입니다. 벽이 얇으면 반대쪽에 도달했을 때 아직 0이 아니어서 그만큼이 새어 나갑니다. 입자가 「벽 안에 에너지를 빌려 있는」 것이 아니라, 애초에 위치가 한 점이 아니라는 파동의 성질에서 나옵니다.

대략 제곱으로 떨어집니다. 두꺼운 장벽에서 T는 e의 −2κa제곱에 비례하므로 두께가 두 배가 되면 지수가 두 배가 되어 원래 값의 제곱이 됩니다. 두께가 조금만 늘어도 자릿수가 통째로 바뀌는 것이 이 때문입니다.

터널 전류가 탐침 거리에 지수적으로 반응하기 때문입니다. 일함수 4 eV면 2κ가 약 2.05 Å⁻¹이라 탐침이 1옹스트롬 멀어질 때마다 전류가 약 8분의 1로 줄어듭니다. 높이를 재는 것이 아니라 전류의 자릿수를 읽어 원자 크기의 요철을 구별하는 것입니다.

장벽의 모서리에서 파동의 임피던스가 갑자기 바뀌기 때문입니다. 빛이 유리 표면에서 일부 반사되는 것과 같은 이치이며, 고전역학에서는 있을 수 없는 일입니다. 이 계산기에서 E를 V₀보다 높게 넣으면 투과율이 1보다 작게 나오는 것이 그것입니다.

있습니다. 장벽 안의 파수 k₂와 두께 a가 k₂a = nπ를 만족할 때입니다. 장벽 두께에 반파장이 정수 개 들어가 앞뒤 모서리에서 반사된 파동이 서로 상쇄되기 때문입니다. 에너지로는 Eₙ = V₀ + n²π²ℏ²/(2ma²)이고, 램자우어–타운센드 효과와 렌즈의 반사방지 코팅이 같은 현상입니다.

κa가 1보다 충분히 클 때입니다. sinh(κa)를 e의 κa제곱을 2로 나눈 값으로 바꾸면 T ≈ 16E(V₀−E)/V₀² · e^(−2κa)가 되는데, κa가 2쯤이면 아직 1% 가까이 어긋납니다. 이 계산기는 정확한 값과 근사값을 나란히 내니 직접 견주어 보시기 바랍니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.

알아두면 좋은 점

  • 높이가 일정한 사각 장벽만 다룹니다. 실제 장벽은 모양이 있어 WKB 근사가 필요합니다.
  • 상대론 효과와 여러 입자 사이의 상호작용은 넣지 않았습니다. 비상대론 슈뢰딩거 방정식의 해입니다.
  • 투과율이 아주 작으면 소수로 적을 수 없어 10의 거듭제곱으로 냅니다.
  • 전자 질량은 CODATA 2022, 플랑크 상수와 기본전하는 2019년 SI 정의값을 씁니다.
  • 알파 붕괴처럼 쿨롱 장벽을 다루려면 사각 장벽으로는 부족합니다. 규모를 가늠하는 용도로만 보시기 바랍니다.

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물질파λ = h/p로 입자의 드브로이 파장을 구합니다.무한 우물무한 우물에 갇힌 입자의 에너지 준위를 계산합니다.광전효과빛을 쬔 금속에서 전자가 튀어나오는지, 얼마나 빠른지 계산합니다.반가층 계산I = I₀e^(−μx)로 차폐체를 지난 뒤 남는 세기를 냅니다.죄수와 상자죄수 수와 열 수 있는 상자 수를 넣으면 아무 상자나 여는 전략과 사이클을 따라가는 전략의 전원 성공 확률을 각각 구합니다.

마지막 검증: 2026년 9월 2일 · 결과는 참고용 추정치입니다.