상자 속 입자 에너지 준위 계산기
무한 우물에 갇힌 입자의 에너지 준위를 계산합니다. 전이 에너지와 그 광자의 파장, 정육면체 상자에서 생기는 축퇴까지 함께 봅니다.
전자 · 상자 1nm
E₁ = 0.376 eV
n=1→2 전이 1.128 eV · 광자 1,099.1 nm
에너지 준위
| n | 에너지 (eV) | E₁ 배수 | 아래와의 차 | λ (nm) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.376 | 1배 | — | 2 |
| 2 | 1.504 | 4배 | 1.128 | 1 |
| 3 | 3.384 | 9배 | 1.88 | 0.667 |
| 4 | 6.016 | 16배 | 2.632 | 0.5 |
| 5 | 9.401 | 25배 | 3.384 | 0.4 |
| 6 | 13.537 | 36배 | 4.136 | 0.333 |
| 7 | 18.425 | 49배 | 4.888 | 0.286 |
| 8 | 24.066 | 64배 | 5.64 | 0.25 |
λ = 2L/n입니다 — 상자에 반파장이 n 개 들어갑니다.
정육면체 상자에서는 축퇴가 생깁니다
| E₁ 배수 | 겹침 | 상태 (nx,ny,nz) |
|---|---|---|
| 3 | 1겹 | (1,1,1) |
| 6 | 3겹 | (1,1,2) (1,2,1) (2,1,1) |
| 9 | 3겹 | (1,2,2) (2,1,2) (2,2,1) |
| 11 | 3겹 | (1,1,3) (1,3,1) (3,1,1) |
| 12 | 1겹 | (2,2,2) |
| 14 | 6겹 | (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) |
E = (h²/8m)(nx² + ny² + nz²)/L²이라 제곱합이 같으면 에너지가 같습니다. 변의 길이가 달라져 대칭이 깨지면 이 겹침이 갈라집니다.
계산 방법
- 1입자와 상자 길이를 고릅니다.
- 2두 양자수를 넣으면 전이 에너지와 광자 파장이 나옵니다.
- 3상자 길이를 바꿔 가며 에너지가 얼마나 민감하게 변하는지 보세요.
자주 묻는 질문
Eₙ = n²h²/(8mL²)입니다. n은 1부터인 정수, h는 플랑크 상수, m은 입자 질량, L은 상자 길이입니다. 상자에 반파장이 n개 들어가는 상태만 허용되기 때문에 이런 꼴이 됩니다.
n이 0이면 파동함수가 통째로 0이 되어 "입자가 없다"는 뜻이 되기 때문입니다. 그래서 가장 낮은 상태에서도 E₁만큼의 에너지를 갖습니다. 이를 영점 에너지라 하며, 절대영도에서도 멈추지 못한다는 뜻입니다.
E ∝ 1/L²이라 길이를 절반으로 줄이면 에너지가 네 배가 됩니다. 좁은 곳에 가두려 할수록 세게 튀어나오려 하는데, 불확정성 원리가 에너지로 나타난 모습입니다.
준위 간격의 방향이 반대입니다. 상자는 위로 갈수록 벌어지고(Eₙ₊₁ − Eₙ = (2n+1)E₁), 수소는 위로 갈수록 촘촘해집니다. 상자는 벽이 무한히 높고 원자는 멀어질수록 힘이 약해지기 때문입니다.
다른 상태인데 에너지가 같은 것입니다. 정육면체 상자에서는 E ∝ nx² + ny² + nz²이라 (2,1,1)·(1,2,1)·(1,1,2)가 모두 같은 에너지를 갖습니다. 변의 길이가 달라져 대칭이 깨지면 갈라집니다.
같은 원리입니다. 알갱이가 작을수록 에너지 간격이 커져 짧은 파장(푸른빛)을 냅니다. 같은 물질인데 크기만 바꿔 색을 조절할 수 있는 이유입니다.
알아두면 좋은 점
- 벽이 무한히 높은 이상적인 우물을 전제로 합니다.
- 실제 유한 우물에서는 파동함수가 벽 바깥으로 새어 나가 에너지가 이보다 낮고, 준위 수도 유한합니다.
- 상대론 효과는 다루지 않습니다.
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마지막 검증: 2026년 8월 30일 · 결과는 참고용 추정치입니다.