무지개각 계산기

물방울에 들어간 빛이 내부에서 반사한 뒤 나오기까지 총 얼마나 꺾이는지(편향각) D(θ)=k·180°+2θ−2(k+1)θ′를 입사각 θ에 대해 최소로 만드는 지점을 구합니다(θ′=asin(sinθ/n), k=1은 1차·k=2는 2차 무지개). 이 극값 근방에서 여러 광선이 겹쳐 밝게 보이는 것이 무지개이며, 반태양점에서 잰 그 각도가 무지개각(=|180°−D|)입니다.

물의 굴절률(가시광선 평균 1.33)로 1차 무지개의 극값을 계산하면 약 42.5°가 나오기 때문입니다. 실제로는 빛깔마다 굴절률이 조금씩 달라(적색 1.331~보라 1.343) 40.5°~42.5° 사이에 색이 펼쳐져 보입니다 — 이게 무지개색이 순서대로 늘어서는 이유입니다.

내부에서 반사가 한 번 더(2회) 일어나기 때문입니다. 같은 방식으로 계산하면 2차 무지개각은 약 50°로 1차보다 크게 나와 1차 바깥쪽에 뜨고, 반사 때마다 빛의 일부가 밖으로 빠져나가 손실되므로 1차보다 흐리게 보입니다. 색 순서도 반사가 한 번 더 일어나며 뒤집힙니다.

무지개는 태양과 정반대 방향(반태양점)을 중심으로 무지개각만큼 떨어진 원뿔 테두리에 생깁니다. 태양이 고도 h만큼 떠 있으면 반태양점은 지평선 아래 h만큼 있고, 무지개 맨 위는 그보다 무지개각만큼 더 높은 자리(무지개각−h)에 옵니다. 태양 고도가 1차 무지개각(약 42°)보다 높아지면 이 값이 0보다 작아져 무지개 전체가 지평선 아래로 내려가 원리상 볼 수 없습니다.

기본 기하는 같지만 단순화가 있습니다. 물방울을 완전한 구, 빛을 평행한 단일 파장 광선으로 가정합니다. 실제로는 물방울 크기에 따라 회절 효과로 테두리가 흐려지거나(작은 물방울) 보조 무지개(과잉무지개)가 겹쳐 보이기도 합니다. 큰 그림(각도·색 순서·보이는 조건)은 이 계산으로 충분히 설명됩니다.