근궤적(root locus) 계산기

개루프 전달함수 K·N(s)/D(s)에서 이득 K를 0부터 무한대로 늘릴 때, 특성방정식 D(s)+K·N(s)=0의 근(폐루프 극점)이 복소평면 위에서 그리는 궤적입니다. K=0일 때는 개루프 극점에서 시작하고, K→∞이면 개루프 영점이나 무한대로 향합니다.

축이 다릅니다. bode-asymptote는 주파수에 따른 이득·위상을 보고, routh-hurwitz는 특정 K 하나에서 안정한지만 판정합니다. 근궤적은 K가 0부터 무한대까지 변할 때 극점이 어떻게 움직이는지 전체 궤적을 보여줍니다.

실수축 위에서 두 폐루프 극점이 만나 서로 복소켤레로 갈라지는 지점입니다. K(s)=−D(s)/N(s)를 s로 미분해 0이 되는 점 중, 실제로 실수축 궤적 구간 위에 있고 그 지점의 K가 0 이상인 것만 진짜 이탈점입니다.

극점 n개, 영점 m개(n>m)이면 (n−m)개의 궤적 가지가 무한대로 뻗어 나가며, 그 각도는 (2k+1)·180°/(n−m)(k=0,1,…,n−m−1)입니다. 이 직선들이 만나는 중심(centroid)은 (극점의 합−영점의 합)/(n−m)입니다.

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