상트페테르부르크 역설 계산기

동전을 앞면이 나올 때까지 던지는 게임입니다. n번째에 처음 앞면이 나오면 2ⁿ원을 받습니다. 첫 판에 앞면이면 2원, 두 번째 판에 처음 앞면이면 4원, 세 번째면 8원… 하는 식입니다.

n번째에 처음 앞면이 나올 확률은 (1/2)ⁿ이고 상금은 2ⁿ이므로, 그 항의 기여는 (1/2)ⁿ×2ⁿ=1원으로 항상 정확히 1입니다. 이런 항이 무한히 있으므로 다 더하면 무한대가 됩니다.

두 가지로 설명합니다. 하나는 베르누이의 효용 이론으로, 사람들은 돈 자체가 아니라 돈의 로그값(한계효용체감)으로 가치를 매긴다고 보면 기대 "효용"은 유한한 값(이 경우 log₂ 기준으로 2)에 수렴합니다. 다른 하나는 현실적으로 게임을 운영하는 쪽(카지노)의 지불 능력이 무한하지 않다는 것입니다 — 상금에 상한을 두면 기댓값도 유한해집니다.

상한 이후의 모든 라운드에서 상금을 상한값으로 고정하면, 그 뒤로 무한히 이어지는 항들의 확률 합이 기하급수로 줄어들어(등비수열의 합) 유한한 값으로 수렴하기 때문입니다. 이 계산기에서 상한을 바꿔 가며 기댓값이 어떻게 달라지는지 확인해 보세요.