스투름 수열 실근 개수 계산기

다항식 p와 도함수 p′로 유클리드 호제법을 돌리되 나머지의 부호를 뒤집어 만든 수열의, 양 끝에서의 부호 변화 수 차이가 그 구간 안의 서로 다른 실근 개수와 정확히 같다는 정리입니다. 근을 구하지 않고 개수만 먼저 알 수 있고, 「대략」이나 「최대」가 아니라 정확한 값을 줍니다.

한 번만 셉니다. 스투름이 세는 것은 서로 다른 실근의 개수이므로 (x−2)³은 3개가 아니라 1개로 나옵니다. 이것이 이 정리에서 가장 흔한 오해입니다. 중복도까지 세려면 다른 방법이 필요합니다.

개수는 맞게 나옵니다. 중근이 있으면 수열의 마지막 0이 아닌 항이 상수가 아니라 gcd(p, p′)가 되는데, 이는 수열 전체를 같은 것으로 나눈 셈이라 부호 변화 수가 달라지지 않기 때문입니다. 오히려 마지막 항이 상수인지 아닌지로 중근이 있는지 없는지를 알 수 있어, 이 계산기는 그것도 함께 보여 줍니다.

데카르트 법칙은 상한만 주고 스투름은 정확한 값을 줍니다. 계수의 부호 변화 수는 양의 근의 최대 개수이며 실제는 그보다 2씩 적을 수 있습니다. 또 데카르트는 양수 구간과 음수 구간만 볼 수 있지만 스투름은 아무 구간에나 쓸 수 있습니다. 이 계산기는 둘을 나란히 놓아 차이를 보여 줍니다.

왼쪽이 열리고 오른쪽이 닫힌 (a, b]입니다. a가 근이면 세지 않고 b가 근이면 셉니다. 구간을 이어 붙여 나눠 셀 때 같은 근을 두 번 세지 않으려는 약속이며, 덕분에 나눠 센 개수의 합이 전체와 맞습니다.

구간을 반씩 갈라 근이 하나씩만 든 구간으로 나눈 뒤 이분법으로 좁혀 알려 줍니다. 이것을 근의 분리라고 하며, 뉴턴법이나 이분법에 「어디서 시작하라」를 주는 데 씁니다. 근을 못 찾거나 엉뚱한 근으로 수렴하는 사고가 거의 이 시작점 문제입니다.

호제법을 되풀이하면 계수가 커지거나 작아져 자릿수를 잃을 수 있으므로, 이 계산기는 두랑-케르너로 근을 직접 구해 센 개수를 함께 보여 줍니다. 두 값이 맞으면 안심해도 되고, 어긋나면 차수가 높거나 계수 크기가 고르지 않아 수치적으로 어려운 경우입니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.