삼각형 중선·높이·각의 이등분선 길이 계산기

셋 다 꼭짓점에서 대변으로 내린 선분(세비안)이지만 어디에 닿는지가 다릅니다. 중선은 대변의 «중점»에, 높이는 대변에 «수직»으로 내린 발에, 각의 이등분선은 꼭짓점 각을 «반으로 나누는» 방향으로 대변과 만나는 점에 닿습니다. 정삼각형에서는 이 세 점이 모두 같아 세 선분이 하나로 겹칩니다.

m_a = ½√(2b²+2c²−a²) 로 구합니다. 평행사변형 법칙(변의 제곱의 합이 대각선의 제곱의 합과 같다는 성질)을 중선이 만드는 평행사변형에 적용해서 나온 식입니다. 직각삼각형에서 빗변에 대한 중선이 빗변의 절반과 같다는 유명한 성질이 이 식의 한 예입니다.

h_a = 2×넓이/a로 구합니다. 넓이는 세 변을 알 때 헤론의 공식 Area=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s=(a+b+c)/2로 구하고, 「넓이 = ½×밑변×높이」를 거꾸로 풀면 높이가 나옵니다. 그래서 세 변 어느 쪽을 밑변으로 잡아도 a×h_a=b×h_b=c×h_c=2×넓이가 항상 성립합니다.

t_a = √(bc(b+c−a)(b+c+a))/(b+c) 로 구합니다. 각의 이등분선이 대변을 인접한 두 변의 비(m:n = c:b)로 나눈다는 사실과 스튜어트 정리(선분이 변을 나눌 때 성립하는 항등식)를 결합해서 나옵니다.

같은 꼭짓점에서 나온 세 세비안은 항상 높이 ≤ 이등분선 ≤ 중선 순서를 만족합니다(등호는 이등변삼각형의 꼭지각에서). 높이가 대변까지의 최단 거리이므로 가장 짧고, 중선은 대변의 중점까지 가는 반면 이등분선은 각을 반으로 나누는 방향이라 그 사이에 놓이기 때문입니다.