베를레 적분 시뮬레이터

위치·속도·가속도로 이루어진 2차 상미분방정식(뉴턴의 운동방정식)을 푸는 적분기입니다. x(t+dt)=x(t)+v(t)dt+½a(t)dt², v(t+dt)=v(t)+½(a(t)+a(t+dt))dt로 갱신하며, 다음 위치에서 가속도를 다시 계산해 평균 내는 것이 핵심입니다.

edu/ode-solver는 dy/dx=f(x,y) 형태의 1차 상미분방정식(오일러·개선오일러·RK4)만 다룹니다. 이 계산기는 위치-속도-가속도로 이루어진 2차계를 다루는 별개의 적분기입니다.

가속도가 일정하면 베를레 공식의 x(t+dt)=x(t)+v(t)dt+½a(t)dt²가 테일러 전개와 항이 정확히 같아지기 때문입니다. dt를 아무리 크게 잡아도(스텝을 몇 개만 써도) 반올림 오차를 빼면 해석해와 완전히 일치합니다.

베를레는 심플렉틱(symplectic) 적분기라 에너지가 진동할 뿐 한쪽으로 계속 새지 않습니다. 반면 단순(전진) 오일러법은 같은 스텝 크기에서도 매 스텝 에너지가 조금씩 불어나는 것이 수학적으로 증명돼 있어, 여러 주기를 돌리면 진폭이 눈에 띄게 커집니다.

아닙니다. 가속도가 위치에 따라 바뀌는 경우(스프링의 a=-(k/m)x)는 베를레도 O(dt²) 오차가 남아 해석해와 정확히 같지는 않습니다. 다만 그 오차가 에너지를 한쪽으로 새게 하지 않고 진동에 머무른다는 점이 오일러법과 다릅니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.