바이어슈트라스 곱 부등식 계산기
0~1 사이 값 목록을 넣으면 Π(1−xᵢ) ≥ 1−Σxᵢ 바이어슈트라스 곱 부등식을 계산합니다. 곱을 전개했을 때 버려지는 교차항이 정확히 그 차이(갭)와 같습니다.
값 목록 x (0~1 사이)
공백이나 쉼표로 구분해 넣으세요. 모든 값은 0 이상 1 이하여야 합니다.
부등식이 성립합니다
Π(1−xᵢ) = 0.42 ≥ 0.3
n = 2, Σxᵢ = 0.7
계산 방법
- 10 이상 1 이하인 값을 공백이나 쉼표로 구분해 넣습니다.
- 2좌변 Π(1−xᵢ)(모두 곱한 값)과 우변 1−Σxᵢ(모두 더한 값을 1에서 뺀 값)를 비교합니다.
- 3값이 하나뿐이면 정확히 등호가 되는 것을 확인할 수 있습니다.
- 4값들의 합이 1을 넘으면 우변이 음수가 되어 부등식이 자명해지는 것도 볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
x₁, …, xₙ이 모두 0 이상 1 이하이면 (1−x₁)(1−x₂)⋯(1−xₙ) ≥ 1−(x₁+x₂+⋯+xₙ)이 항상 성립한다는 부등식입니다. 등호는 값이 하나뿐이거나 모든 값이 0일 때 성립합니다.
수학적 귀납법으로 증명됩니다. n개까지 성립한다고 가정하고 (n+1)번째 값을 곱하면, 전개 과정에서 버려지는 교차항(이미 곱한 값들의 합과 새 값의 곱)이 항상 0 이상이라 부등식이 유지됩니다. edu/bernoulli-inequality의 이항전개 증명과 같은 뼈대입니다.
(1−x₁)(1−x₂)를 직접 전개하면 1−x₁−x₂+x₁x₂인데, x₁x₂ ≥ 0이므로 이 값은 항상 1−x₁−x₂ 이상입니다. 이 계산기가 보여주는 "갭"이 바로 이 교차항 x₁x₂와 같습니다.
우변 1−Σxᵢ가 음수가 됩니다. 좌변(여러 개의 (1−xᵢ)을 곱한 값)은 항상 0 이상이므로, 이 경우 부등식은 "0 이상인 수는 음수보다 크다"는 자명한 이유로 성립합니다.
여러 사건이 동시에 일어나지 않을 확률(각 사건이 일어날 확률 xᵢ)의 하한을 구하는 데 자주 쓰입니다. Π(1−xᵢ)는 "모든 사건이 하나도 일어나지 않을 확률"의 근사값이고, 이 부등식은 그 값이 1−Σxᵢ보다 작아지지 않는다는 뜻입니다(합집합 상한 부등식과 짝을 이룹니다).
전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 모든 값은 0 이상 1 이하여야 합니다.
함께 보면 좋은 도구
마지막 검증: 2026년 9월 10일 · 결과는 참고용 추정치입니다.