다항식 근의 조건수(윌킨슨) 계산기

계수 a_j를 Δ만큼 흔들면 근이 δ ≈ −Δ·rʲ / p′(r)만큼 움직입니다. p(r+δ) + Δ(r+δ)ʲ = 0을 1차까지 편 결과이며, 분모가 p′(r)이라는 것이 핵심입니다. 모든 계수를 상대적으로 ε만큼 흔들면 최악의 경우 |δr| ≤ ε·Σ|a_j·rʲ| / |p′(r)|입니다.

p′(r) = ∏(rᵢ − rⱼ)이므로 근이 서로 가까우면 이 곱이 작아지기 때문입니다. 분모가 작아지니 아무리 작은 계수 오차라도 근의 이동이 폭발합니다. 반대로 근이 멀리 떨어져 있으면 p′(r)이 커서 같은 흔들림에도 거의 움직이지 않습니다.

근이 1, 2, …, 20으로 잘 떨어져 있는데도 극도로 불안정하기 때문입니다. x¹⁹ 계수(−210)를 2⁻²³만큼만 바꾸면 근들이 복소수로 갈라집니다. ∂r₂₀/∂a₁₉ = −20¹⁹/19! ≈ −4.3×10⁷이라, 계수를 10⁻⁷ 흔들면 근이 1 가까이 움직입니다.

p′(r) = 0이라 조건수가 무한대이고 1차 근사 자체가 성립하지 않습니다. 그때 오차는 Δ가 아니라 Δ^(1/m) 규모입니다(m은 중복도). 계수를 10⁻¹⁶만큼 흔들면 이중근은 10⁻⁸만큼 움직여, 배정밀도로 계산해도 유효숫자가 절반으로 줄어듭니다.

해결되지 않습니다. 조건수는 문제 자체의 성질이지 알고리즘의 성질이 아닙니다. 조건수가 10¹⁰이면 어떤 방법을 써도 배정밀도에서 유효숫자 여섯 자리쯤을 잃습니다. 해결하려면 정밀도를 올리거나, 애초에 계수 대신 근이나 인수분해된 꼴을 유지해야 합니다.

윌킨슨 20차의 상수항 20! ≈ 2.4×10¹⁸은 62비트라 배정밀도(53비트)에 정확히 담기지 않습니다. 계수를 double로 옮겨 적는 순간 이미 상대오차 2⁻⁵³만큼 흔든 셈이고, 그 상태에서 근을 구하면 아무 짓도 하지 않았는데 답이 틀립니다. 근이 15까지면 15! ≈ 1.3×10¹²라 정확히 담깁니다.

목적이 반대입니다. 근을 구하는 도구는 「답이 무엇인가」를 묻고, 이 도구는 「그 답을 믿을 수 있는가」를 묻습니다. 조건수가 크면 구한 근이 아무리 정밀해 보여도 자릿수 대부분이 의미 없습니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.