체비쇼프 다항식·보간점 계산기

Tₙ(x) = cos(n·arccos x)로 정의되는 다항식입니다. 코사인처럼 보이지만 cos(nθ)를 cos θ의 다항식으로 펼 수 있어서 진짜 다항식이며, 세 항 점화식 Tₙ₊₁ = 2xTₙ − Tₙ₋₁로 차례로 만들 수 있습니다. 최고차항 계수가 2ⁿ⁻¹이나 되는데도 |x| ≤ 1에서 값이 −1과 1 사이에 갇혀 있다는 것이 이 함수의 쓸모입니다.

등간격 점으로 고차 다항식 보간을 하면 구간의 끝에서 오차가 폭발하는 현상입니다. 1901년 룽게가 1/(1+25x²)로 보였습니다. 점을 촘촘히 할수록 좋아질 것 같지만 정반대여서, 차수를 20으로 올리면 오차가 함수의 최댓값보다 커집니다. 이 때문에 고차 다항식 보간은 오랫동안 기피 대상이었습니다.

보간 오차식 f(x) − p(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)!·Π(x − xᵢ)에서 우리가 고를 수 있는 것은 Π(x − xᵢ)뿐인데, 이 곱의 최댓값을 가장 작게 만드는 점 배치가 정확히 체비쇼프 영점이기 때문입니다. 등간격 점은 가운데가 촘촘하고 끝이 성긴 셈이라 끝에서 이 곱이 폭발하지만, 체비쇼프 점은 끝으로 갈수록 촘촘해져 그것을 막습니다.

Tₙ이 극점 xₖ = cos(kπ/n)에서 +1과 −1을 정확히 n+1번 번갈아 찍는 성질입니다. 어떤 함수를 다항식으로 가장 잘 근사(미니맥스)했다면 오차가 이렇게 부호를 번갈아 가며 같은 크기로 나타나야 한다는 것이 체비셰프 등진동 정리이며, 최적 근사를 찾는 알고리즘(레메즈)의 뼈대이기도 합니다.

무게중심(barycentric) 꼴로 계산합니다. 라그랑주 기본 다항식을 그대로 더하면 차수가 조금만 높아도 자릿수가 날아가기 때문입니다. 등간격 점의 무게는 차수 30이면 최대와 최소가 10²⁰배씩 차이 나므로, 로그로 구해 최댓값을 뺀 뒤 지수로 되돌립니다. 분자와 분모에 같은 상수가 곱해질 뿐이라 값은 그대로입니다.

복소평면에서 특이점이 구간 가까이 있는 함수입니다. 1/(1+25x²)는 x = ±i/5에 극점이 있어 실축 구간 바로 옆이라 특히 심합니다. eˣ나 sin처럼 복소평면 전체에서 매끄러운 함수는 등간격으로도 잘 맞습니다. 반대로 |x|처럼 미분이 안 되는 자리가 있으면 두 방식 모두 느리게 수렴합니다.

다릅니다. 가우스–르장드르 구적법은 르장드르 다항식의 영점을 적분점으로 쓰고, 여기서 다루는 것은 체비쇼프 다항식의 영점입니다. 체비쇼프 영점을 적분점으로 쓰는 가우스–체비쇼프 구적법도 따로 있는데, 그것은 1/√(1−x²)라는 가중치가 붙은 적분에 맞춰진 것입니다.

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