가우스 구적법 적분점·가중치 계산기

점을 어디에 찍을지도 미지수로 놓기 때문입니다. n점이면 위치 n개와 가중치 n개, 합해서 미지수가 2n개이므로 «xᵏ의 적분이 정확할 것»이라는 조건을 k = 0부터 2n−1까지 모두 맞출 수 있습니다. 그래서 n점 공식이 2n−1차 다항식까지 오차 없이 적분합니다. 등간격으로 못을 박아 놓고 가중치만 정하는 사다리꼴·심프슨보다 같은 점 수로 얻는 차수가 두 배 가까이 됩니다.

n차 르장드르 다항식 Pₙ의 영점입니다. Pₙ은 세 항 점화식 k·P_k = (2k−1)x·P_{k−1} − (k−1)P_{k−2}로 값을 얻고, 영점은 뉴턴법으로 찾습니다. 처음 어림값을 x ≈ cos(π(i−¼)/(n+½))으로 잡으면 서너 번이면 수렴하며, 아무렇게나 잡으면 이웃 영점으로 미끄러져 같은 점이 두 번 나옵니다. 가중치는 영점이 정해지면 wᵢ = 2/((1−xᵢ²)·P′ₙ(xᵢ)²)로 떨어집니다.

두 가지로 검산합니다. 첫째, [−1,1] 기준 가중치의 합이 정확히 2여야 합니다(구간의 길이이며 f(x)=1을 적분한 것과 같습니다). 둘째, 2n−1차 다항식을 넣으면 오차가 기계 정밀도여야 하고 2n차부터는 오차가 눈에 보이게 생깁니다. 이 계산기는 두 값을 결과에 함께 냅니다.

x = (b−a)/2·t + (a+b)/2로 옮기고 가중치에도 (b−a)/2를 곱합니다. 이 배율을 빠뜨리는 것이 가장 흔한 실수인데, 구간 길이가 2인 [−1,1]에서만 우연히 맞아 눈치채기 어렵습니다. 상수함수 1을 적분해 구간 길이가 그대로 나오는지 보면 바로 알 수 있습니다.

다항식으로 잘 흉내 나는 함수에서만 그렇습니다. sin은 10점만으로 기계 정밀도에 닿지만, 구간 바로 곁에 극이 있는 룽게 함수 1/(1+25x²)는 30점으로도 10⁻⁷ 대에 머물고 64점까지 가야 10⁻¹¹ 대에 듭니다. 끊기거나 뾰족한 함수, 구간 끝에서 발산하는 함수는 점을 늘려도 잘 줄지 않으므로 구간을 나눠 조각마다 따로 쓰는 편이 낫습니다.

수치적분 계산기는 구간을 등간격으로 자르는 사다리꼴·중점·심프슨·롬베르그를 다루고, 오차가 몇 차로 줄어드는지를 봅니다. 이 계산기는 점의 위치까지 고르는 것이 존재 이유라서, 적분점과 가중치 표 자체를 내고 같은 점 수의 등간격 방법과 오차를 견줍니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 식과 값은 이 기기에만 남습니다.