베이즈 신용구간(베타-이항) 계산기

말하는 내용이 다릅니다. 신용구간은 「참값이 이 안에 있을 확률이 95%」이고, 신뢰구간은 「이런 절차를 수없이 반복하면 그중 95%가 참값을 덮는다」입니다. 신뢰구간에서는 참값이 고정된 상수이고 구간이 확률변수라, 눈앞의 구간 하나를 두고 확률을 말할 수 없습니다. 사람들이 신뢰구간을 두고 하고 싶어 하는 말이 사실은 신용구간의 뜻이며, 그 말을 하려면 사전분포를 정하는 값을 치러야 합니다.

이항 자료의 켤레사전분포이기 때문입니다. 사전분포를 Beta(α, β)로 두면 사후분포가 Beta(α+s, β+n−s)로 다시 베타가 되어, 성공 횟수를 α에 실패 횟수를 β에 그냥 더하는 것으로 계산이 끝납니다. 덕분에 α와 β를 「이미 본 성공·실패의 수」로 읽을 수 있습니다.

확률 95%를 담는 구간은 하나가 아닙니다. 동일꼬리 구간은 양쪽 꼬리에 2.5%씩 남긴 것이고, HPD 구간은 같은 확률을 담는 것 중 가장 좁은 것입니다. 사후분포가 좌우대칭이면 둘이 같지만 치우쳐 있으면 갈리며, 특히 성공이 하나도 없거나 전부일 때 HPD는 끝(0이나 1)에 붙는 한쪽꼬리 구간이 되고 동일꼬리 구간은 끝에 닿지 않습니다.

보고할 때는 동일꼬리가 무난합니다. 계산이 간단하고, 변수를 로그나 오즈로 바꿔도 구간이 그대로 옮겨지기 때문입니다. HPD는 «가장 그럴듯한 값들의 모임»이라는 뜻이 분명해서 치우친 사후분포를 설명할 때 낫지만, 변수를 바꾸면 구간도 달라집니다. 어느 쪽을 썼는지 밝히는 것이 중요합니다.

정보가 없다면 균등 Beta(1,1)이나 제프리스 Beta(0.5,0.5)가 흔합니다. 균등은 0과 1 사이가 모두 똑같이 그럴듯하다고 보고, 제프리스는 매개변수를 바꿔 써도 같은 결론이 나오도록 만든 것이라 양 끝에 밀도를 더 줍니다. 그래서 제프리스 쪽 구간이 조금 좁습니다. 앞선 자료가 있다면 그것을 성공·실패 횟수로 환산해 α, β에 넣으면 됩니다.

자료가 적으면 크게 좌우합니다. n이 5면 균등과 제프리스의 사후평균이 눈에 띄게 다르지만, n이 만 단위가 되면 차이가 사라집니다. 그래서 표본이 작을 때는 사전분포를 바꿔 가며 결론이 뒤집히는지 확인하는 것(민감도 분석)이 관례이고, 무엇을 썼는지 밝히지 않은 신용구간은 읽을 수 없습니다.

동일꼬리 구간이라 아래쪽에도 2.5%를 남기기 때문입니다. HPD로 보시면 0에 붙습니다. 사후평균이 0이 아닌 것도 같은 이유인데, 균등 사전분포에서는 (s+1)/(n+2)가 되어 s = 0이어도 0보다 큽니다. 이것을 라플라스의 «연속 규칙»이라 하며, 「10번 해서 한 번도 안 됐으니 확률은 0이다」라고 못 박지 않는 셈입니다.

Beta(0,0)는 적분이 발산해 그 자체로는 확률분포가 아니기 때문입니다(비정칙 사전분포). 자료가 성공과 실패를 모두 담고 있으면 사후분포는 정칙이 되어 쓸 수 있지만, 성공이 0이거나 전부이면 사후분포도 정칙이 되지 않아 구간을 낼 수 없습니다. 그럴 때는 균등이나 제프리스를 쓰십시오.

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