완전타원적분 K·E 계산기

산술기하평균(AGM) 반복으로 계산합니다. a₀ = 1, b₀ = √(1−m)에서 시작해 산술평균과 기하평균을 번갈아 취하면 K = π/(2·AGM(1, √(1−m)))이 됩니다. E는 같은 반복에서 나오는 c값들로 K(1 − Σ2ⁿ⁻¹cₙ²)로 구합니다. 수렴이 이차라 맞는 자릿수가 매 단계 두 배로 늘어 대여섯 번이면 기계 정밀도에 닿습니다.

m = k²입니다. 자료에 따라 매개변수 m을 쓰기도 하고 모듈러스 k를 쓰기도 하는데, K(m=0.5)와 K(k=0.5)는 완전히 다른 값입니다. 계산기나 라이브러리마다 규약이 갈려 값이 안 맞는 이유가 대개 여기이므로, 이 계산기는 어느 쪽을 넣는지 고르게 하고 m과 k를 함께 보여 줍니다.

급수는 m이 1에 가까울 때 항이 느리게 줄어 못 쓰기 때문입니다. AGM은 그 구간에서도 버팁니다. 실제로 정의를 그대로 64점 가우스 구적법으로 적분해 보면 m = 0.9까지는 소수점 열넷째 자리까지 맞지만 m = 0.999999에서는 10⁻²만큼, 0.99999999에서는 0.9만큼 어긋납니다. K의 피적분함수가 θ = π/2에서 발산하기 때문이며, AGM은 같은 값을 여덟 번 만에 냅니다.

진폭 θ₀인 진자의 정확한 주기가 T = 4√(L/g)·K(sin²(θ₀/2))입니다. 학교에서 배우는 T = 2π√(L/g)는 진폭이 0으로 갈 때의 극한이며, K(0) = π/2를 넣으면 그 식으로 되돌아갑니다. 진폭이 커지면 주기가 길어져 90°에서 약 18%, 179°에서는 세 배가 넘습니다. 진자시계가 진폭을 작게 유지하도록 만들어진 이유입니다.

초등함수로 적분되지 않기 때문이며, «타원적분»이라는 이름 자체가 여기서 나왔습니다. 둘레는 C = 4a·E(e²)로 제2종 완전타원적분이 필요합니다. 다만 라마누잔의 2차 근사 π(a+b)(1 + 3h/(10+√(4−3h)))는 웬만한 타원에서 열 자리 넘게 맞아 실무에서는 이것으로 충분한 경우가 많습니다. 1차 근사는 a:b = 100:1에서 0.3%까지 벌어집니다.

K는 발산하고 E는 정확히 1입니다. K의 피적분함수가 θ = π/2에서 1/0이 되기 때문입니다. E는 AGM 식으로는 ∞ × 0이 되어 값이 나오지 않으므로 따로 다뤘습니다. 진자로 치면 진폭이 정확히 180°, 곧 거꾸로 세운 상태라 영원히 돌아오지 않는 자리입니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.