푸리에 급수 계수 계산기

불연속점 근처에서 푸리에 부분합이 참값을 약 9% 넘어서는 현상이며, 항을 늘려도 사라지지 않습니다. 봉우리는 불연속점 쪽으로 좁게 밀려갈 뿐 높이가 그대로여서, 뛴 높이의 절반을 1로 봤을 때 (2/π)·Si(π) = 1.178980배로 수렴합니다. 뛴 높이 기준으로는 8.949%입니다. 계산 오차가 아니라 «점마다 수렴하지만 고르게 수렴하지는 않는다»는 성질이 눈에 보이는 것입니다.

어느 한 점을 고정하면 실제로 수렴하기 때문입니다. 불연속점에서 0.001만큼 떨어진 곳을 보면 N을 충분히 키웠을 때 참값에 다가갑니다. 다만 봉우리가 그 점을 지나쳐 더 안쪽으로 옮겨 갈 뿐이라, «가장 크게 틀린 곳»의 오차는 줄지 않습니다. 이것을 각 점에서의 수렴(점별 수렴)은 하지만 고른 수렴(균등 수렴)은 하지 않는다고 말합니다.

진폭 1인 사각파는 bₙ = 4/(nπ)이고 홀수 차만 남습니다. 기본파 진폭이 4/π = 1.2732로 사각파 자신보다 크다는 것이 눈에 띄는데, 나머지 고조파가 마루를 깎아 평평하게 만들기 때문입니다. 이 기본파 하나에 전체 힘의 81%가 들어 있습니다.

파형이 얼마나 매끄러운지를 말해 주기 때문입니다. 값이 튀는 사각파·톱니파는 1/n로, 값은 이어지고 기울기만 튀는 삼각파는 1/n²로 줍니다. 한 번 더 미분 가능해질 때마다 1/n이 하나씩 더 붙는 셈입니다. 모서리가 날카로울수록 높은 고조파가 오래 살아남으므로, 대역이 좁은 통로로 보내면 그만큼 빨리 뭉개집니다.

계수만으로 파형의 실효값(제곱평균)을 구할 수 있게 해 주며, 계수를 제대로 구했는지 검산하는 데도 씁니다. ∫₀¹f²dt = a₀²/4 + ½Σ(aₙ² + bₙ²)이므로, N항까지 더한 값이 참 제곱평균에 얼마나 못 미치는지가 곧 «잘라낸 고조파에 들어 있던 힘»입니다. 이 계산기의 «채워진 비율»이 그 값입니다.

계산해야 할 계수를 절반 이하로 줄일 수 있습니다. 기함수(원점 대칭)면 코사인 계수가 전부 0이고, 우함수(세로축 대칭)면 사인 계수가 전부 0입니다. 반 주기 뒤에 부호가 뒤집히는 반파 대칭이면 짝수 차 고조파가 전부 0이 되는데, 사각파와 삼각파에 홀수 차만 남는 것이 그래서입니다.

고조파의 포락선이 sinc 꼴로 바뀌면서 특정 차수가 통째로 사라집니다. 진폭이 (2/nπ)|sin(nπd)|라 sin(nπd) = 0이 되는 n, 즉 1/d의 배수 차에서 0이 됩니다. 듀티 1/4이면 4·8·12차가, 듀티 1/3이면 3·6·9차가 사라집니다. 인버터에서 특정 고조파를 없애려고 펄스 폭을 고르는 것이 이 성질을 쓰는 것입니다.

푸리에 급수는 연속인 주기 함수를 무한한 사인·코사인의 합으로 펴는 것이고, DFT는 유한한 개수의 표본을 같은 개수의 성분으로 옮기는 것입니다. 이 계산기는 파형의 수식을 알고 적분으로 계수를 구하지만, DFT는 측정한 표본만 가지고 계산합니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지며 고른 파형과 항 수는 이 기기에만 남습니다.