프리드먼 검정 계산기

표를 행(블록 = 같은 대상)과 열(처리)로 놓고 행마다 따로 1부터 k까지 순위를 매긴 뒤, 열별 순위합 Rⱼ로 χ²_F = 12/(nk(k+1))·ΣRⱼ² − 3n(k+1)을 구합니다. 자유도 k−1의 카이제곱으로 읽으며, 행마다 순위를 매기는 것이 핵심입니다. 사람마다 점수를 후하게 주거나 박하게 주는 버릇이 있어도 행 안에서 순위로 바꾸면 그 버릇이 사라집니다.

프리드먼은 같은 대상에게 여러 처리를 모두 적용한 짝지은 자료에, 크루스칼-왈리스는 서로 다른 집단에 씁니다. 순위를 매기는 방식도 정반대여서 프리드먼은 행 안에서만, 크루스칼-왈리스는 전체를 한 줄로 세워 매깁니다. 짝지은 자료를 크루스칼-왈리스에 넣으면 개인차가 잡음으로 남아 검정력이 떨어집니다.

처리가 3개면 블록이 최소 3개는 있어야 합니다. 블록이 2개면 모든 블록이 똑같은 순서로 매겨도 그런 배치가 나올 확률이 1/6이라 어떤 결과로도 5%를 뚫을 수 없습니다. 이 계산기는 표 크기로 낼 수 있는 가장 작은 p값을 함께 내서 애초에 유의할 수 없는 설계인지 알려 줍니다.

χ²_F를 그것이 가질 수 있는 최댓값 n(k−1)으로 나눈 0~1 사이의 값으로, 블록들이 얼마나 같은 순서로 매겼는지를 나타냅니다. 모든 블록이 똑같이 매기면 χ²_F가 정확히 n(k−1)이 되어 W = 1이고, 순위합이 완전히 고르면 0입니다. p값은 차이가 우연인지만 말해 주므로 평가자들의 의견이 얼마나 모였는지는 W로 보는 것이 낫습니다.

평균 순위를 나눠 갖고 분모를 Σ(t³−t)/(k−1)만큼 줄이는 보정을 넣습니다. t는 각 행 안에서 동점 무리의 크기이며 행마다 따로 세어 더합니다. 보정을 빼먹으면 χ²_F가 작게 나와 있는 차이를 놓치며, 5점 척도 설문처럼 값의 폭이 좁으면 동점이 대량으로 생겨 이 보정이 결론을 가릅니다. 다만 동점이 있으면 순위가 0.5 단위가 되어 정확분포는 쓰지 못합니다.

알 수 없습니다. 유의하다는 것은 어딘가 다르다는 뜻까지이며, 어느 짝이 다른지 보려면 네메니 검정 같은 사후검정이 따로 필요합니다. 사후검정은 임계값표가 있어야 해서 이 계산기의 범위 밖으로 두었습니다. 보정 없이 짝마다 검정을 돌리면 우연히 유의한 것이 섞여 나옵니다.

카이제곱 근사의 보수성을 줄이려고 제안된 변환이라 문헌에 자주 함께 실리기 때문이며, 참고값으로만 보여 줍니다. 더 정확한 값은 아닙니다. 실제로 처리 3개·블록 5개에서 χ²_F가 6.4일 때 정확 p값은 0.0394, 카이제곱은 0.0408인데 F 변환은 0.0168로 오히려 더 멀고, 통계량이 최댓값에 닿으면 분모가 0이 되어 발산합니다. 이 계산기는 셀 수 있으면 언제나 정확분포를 씁니다.

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