힐 구(중력 영향권) 계산기

r_H ≈ a·(m/3M)^(1/3)입니다. a는 이 천체(질량 m)가 중심 천체(질량 M)를 도는 궤도의 긴반지름입니다. 이심률까지 반영하면 r_H ≈ a(1−e)·(m/3M)^(1/3)로, 궤도에서 중심 천체에 가장 가까운 근일점을 기준으로 한 더 좁고 보수적인 값이 나옵니다.

정반대 방향의 한계입니다. 로슈 한계는 "너무 가까우면 조석력에 부서진다"는 하한이고, 힐 구는 "너무 멀면 중심 천체(태양)에 위성을 빼앗긴다"는 상한입니다. 위성이 안정적으로 있을 수 있는 곳은 그 사이 어딘가입니다.

궤도가 타원이면 중심 천체와의 거리가 근일점~원일점 사이에서 바뀌고 힐 구 반지름도 그만큼 늘었다 줄었다 합니다. 위키백과를 비롯해 흔히 인용되는 값은 이심률을 무시한 평균 근사(a만 사용)입니다. 지구·목성처럼 이심률이 작은 행성은 두 값이 몇 % 안에서 갈리지만, 화성(0.093)처럼 이심률이 크면 차이가 뚜렷해집니다. 근일점 근사는 "궤도 어느 지점에서도 이 반지름 안쪽은 언제나 안전하다"는 보수적인 값입니다.

로슈 한계와 마찬가지로, 이 근사는 위성을 시험 질량으로 다뤄 위성 자신의 반지름이 식에서 약분되어 사라집니다. 필요한 것은 위성이 도는 궤도의 긴반지름·이심률과 두 천체(중심 천체·이 천체)의 질량뿐입니다.

아닙니다. 힐 구 경계는 "순간적으로 중력과 원심력이 균형을 이루는 자리"일 뿐이고, 그 언저리를 도는 위성은 중심 천체의 섭동에 흔들려 실제로는 오래 버티지 못합니다. 수치적분으로 확인된 실제 안정권은 순행 궤도가 힐 반지름의 약 절반, 역행 궤도가 약 9할 안팎까지로 추정됩니다.

코리올리 효과의 방향이 중심 천체가 주는 섭동을 상쇄하는 쪽으로 작용하기 때문으로 설명됩니다. 실제로 해왕성의 트리톤을 비롯해 목성·토성·천왕성의 바깥쪽 불규칙위성 상당수가 역행 궤도를 돕니다 — 힐 구 바깥쪽 가장자리에 가까운 곳에서도 안정적으로 붙들려 있으려면 역행이 유리하다는 뜻으로 읽힙니다.

지구 힐 구의 평균 근사는 약 149만 km, 근일점 근사는 약 147만 km입니다. 달의 궤도 긴반지름은 38만 4400km로 힐 반지름의 4분의 1 남짓이고, 순행 안정권(힐 반지름의 약 절반)에도 넉넉히 들어갑니다. 참고로 태양-지구 L1·L2 라그랑주 점도 이 언저리(약 150만 km)에 있습니다.

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