비오 수·집중용량법(냉각 시간) 계산기
비오 수 Bi = hLc/k로 집중용량법을 써도 되는지 먼저 판정하고, 된다면 θ/θ₀ = exp(−Bi·Fo)로 냉각 시간을 구합니다. 판정 없이 식을 쓰는 것이 가장 흔한 실수라 그 경계를 먼저 보여 주고, 목표 온도까지 걸리는 시간도 되짚어 냅니다.
구는 V/A = 반지름의 3분의 1입니다. 정확해의 반지름과 세 배 차이가 납니다.
공기 자연대류 5~25, 강제대류 25~250, 물 500~10000쯤입니다.
비오 수 0.0002 — 집중용량법을 써도 됩니다
시상수 9.6분
Bi가 0.1 아래라 물체 안이 거의 고르게 식는다고 볼 수 있습니다. 온도차가 절반이 되는 데 6.6분 걸리는 것으로 추정됩니다.
두 방향으로 묻기
온도차가 줄어드는 동안
| 남은 온도차 | 온도 | 걸리는 시간 | Fo |
|---|---|---|---|
| 90% | 182.5°C | 60.4초 | 632.163 |
| 75% | 156.3°C | 2.7분 | 1,726.092 |
| 50% | 112.5°C | 6.6분 | 4,158.883 |
| 25% | 68.8°C | 13.2분 | 8,317.766 |
| 10% | 42.5°C | 22분 | 13,815.511 |
| 5% | 33.8°C | 28.6분 | 17,974.394 |
| 1% | 26.8°C | 44분 | 27,631.021 |
지수 감쇠라 절반씩 줄어드는 데 걸리는 시간이 언제나 같습니다 — 100%에서 50%까지와 50%에서 25%까지가 정확히 같은 시간입니다. 「완전히 식는」 시각은 없고, 1%까지 가는 데 반감기의 6.6배가 걸립니다.
열전달계수를 키우면 어디서 깨지나
| h | 비오 수 | 시상수 | 판정 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 3.18시간 | 쓸 수 있음 |
| 5 | 0 | 38.2분 | 쓸 수 있음 |
| 10 | 0.0001 | 19.1분 | 쓸 수 있음 |
| 25 | 0.0002 | 7.6분 | 쓸 수 있음 |
| 50 | 0.0004 | 3.8분 | 쓸 수 있음 |
| 100 | 0.0008 | 1.9분 | 쓸 수 있음 |
| 250 | 0.0021 | 45.9초 | 쓸 수 있음 |
| 500 | 0.0042 | 22.9초 | 쓸 수 있음 |
같은 물체라도 물에 담그면(h가 크면) 표면만 빠르게 식어 안이 고르지 않게 됩니다. 공기 중에서는 잘 맞던 계산이 물속에서는 깨지는 것이 이 표에서 보입니다.
계산 방법
- 1모양을 고르고 대표 치수를 미터 단위로 넣습니다.
- 2열전달계수 h와 재료의 열전도율·밀도·비열을 넣습니다.
- 3비오 수가 0.1 미만인지 먼저 확인합니다. 넘으면 이 방법을 쓸 수 없습니다.
- 4처음 온도와 주위 온도를 넣고 시상수·반감기를 확인합니다.
- 5「이만큼 지났을 때의 온도」와 「이 온도까지 걸리는 시간」을 양방향으로 물어봅니다.
자주 묻는 질문
Bi = hLc/k로, 분자가 표면에서 열이 빠져나가기 쉬운 정도이고 분모가 물체 속에서 전달되기 쉬운 정도입니다. 작을수록 속에서 전달되는 쪽이 빨라 물체 안 온도가 고르게 유지됩니다. Lc는 부피를 표면적으로 나눈 특성길이입니다.
Bi가 0.1 아래면 중심과 표면의 온도차가 대략 5% 안쪽에 머물기 때문입니다. 그 정도면 「물체의 온도」를 하나로 놓고 계산해도 실용적인 오차 안에 들어옵니다. 널리 쓰이는 관행적 기준이며 딱 떨어지는 물리적 경계는 아닙니다.
θ/θ₀ = exp(−hAt/ρVc)입니다. θ는 주위와의 온도차이고, 시상수 τ = ρVc/(hA)로 정리하면 θ/θ₀ = exp(−t/τ)가 됩니다. 온도차가 절반이 되는 데 τ·ln2가 걸립니다.
무차원 시간입니다. Fo = αt/Lc²이며 α = k/(ρc)가 열확산율입니다. Bi·Fo = hAt/(ρVc)로 정확히 맞아떨어져 θ/θ₀ = exp(−Bi·Fo)로 쓸 수 있습니다. 크기가 다른 물체를 비교할 때 편리합니다.
위치마다 온도가 다르므로 1차원 열전도의 급수해나 수치해석으로 넘어가야 합니다. 이 도구는 그 경계를 판정만 하고 넘기지 않습니다 — 판정 없이 지수식을 쓰는 것이 이 계산에서 가장 흔한 실수이기 때문입니다.
열전도율 차이 때문입니다. 구리는 k가 400이라 Bi가 아주 작아 공기 중에서 거의 완벽하게 맞지만, 플라스틱은 k가 0.2쯤이라 같은 조건에서 Bi가 2000배가 되어 판정이 바로 깨집니다. 같은 물체라도 물에 담그면 h가 커져 깨지기도 합니다.
뉴턴 냉각은 「온도차에 비례해 식는다」는 관찰에서 바로 지수 감쇠를 얻는데, 이 도구는 그것이 언제 성립하는지를 비오 수로 판정하고 시상수를 물성에서 구합니다. 같은 지수식의 물리적 근거를 대는 셈입니다.
전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 열전달계수 h가 일정하다고 봅니다. 실제로는 온도차에 따라 달라지며 복사가 섞이면 T⁴에 비례해 비선형이 됩니다.
- 복사와 상변화(끓음·얼음)는 다루지 않습니다. 고온이거나 온도차가 아주 크면 크게 어긋납니다.
- 집중용량법 판정에는 Lc = V/A를, 정확해의 비오 수에는 반지름·반두께를 씁니다. 구는 세 배 차이가 나므로 표에서 값을 가져올 때 정의를 확인해야 합니다.
- Bi < 0.1은 널리 쓰이는 관행적 기준이며 딱 떨어지는 물리적 경계는 아닙니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 2일 · 결과는 참고용 추정치입니다.