마할라노비스 거리 계산기

변수들 사이의 상관과 척도를 고려한다는 점이 다릅니다. 유클리드 거리는 각 축을 같은 무게로 보지만, 마할라노비스 거리는 공분산의 역행렬을 끼워 d² = (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ)로 잽니다. 그래서 키 150cm와 몸무게 90kg처럼 각각은 흔하지만 함께는 드문 조합을 잡아낼 수 있습니다.

Σ⁻¹을 끼우는 것이 자료를 구형으로 펴는 변환과 같기 때문입니다. 변수마다 표준편차로 나누어 단위를 없애고 상관을 지운 공간에서 유클리드 거리를 재는 것과 같아서, 키를 cm로 재든 m로 재든 결과가 같습니다. 더 일반적으로 자료 전체를 늘리거나 회전해도(아핀 변환) 거리가 변하지 않습니다.

자료가 다변량 정규분포를 따르면 d²이 자유도 p(변수 개수)의 카이제곱 분포를 따르므로, 그 상위 1% 지점을 임계값으로 씁니다. 변수가 둘이면 9.21, 셋이면 11.34입니다. 다만 분포가 크게 치우쳐 있으면 이 판정이 흔들리므로 「후보」로 보고 자료를 직접 들여다보는 편이 안전합니다.

평균과 공분산을 그 자료로 구하기 때문에, 이상치가 이미 들어 있으면 평균을 끌어당기고 공분산을 부풀려 스스로를 정상으로 보이게 만듭니다. 이것을 마스킹이라 하며 이상치가 여럿일수록 심해집니다. 진지한 이상치 탐지에는 MCD처럼 자료의 일부만 써서 평균·공분산을 추정하는 로버스트 방법을 씁니다.

공분산 행렬의 역행렬이 없을 때입니다. 어떤 변수가 다른 변수들의 선형결합이거나(완전 상관), 표본 수가 변수 수보다 적으면 그렇습니다. 이때는 겹치는 변수를 빼거나 주성분분석으로 차원을 줄인 뒤 계산해야 합니다.

변수가 하나뿐이면 마할라노비스 거리가 |z|와 정확히 같습니다. 곧 z 점수를 여러 변수로 확장한 것이며, 변수가 여럿일 때 그들 사이의 상관까지 반영한다는 점이 더해집니다. 「몇 σ 밖」이라는 감각을 다변량으로 옮긴 것이라고 보면 됩니다.

다변량 이상치 탐지가 대표적이고, 판별분석(어느 집단에 더 가까운지 판정), 이상 탐지 기반 품질관리, 신용평가에서 특이 거래 찾기 등에 쓰입니다. 군집 분석에서 거리 척도로 쓰기도 하는데, 이때는 군집마다 공분산을 따로 잡을지가 별도의 선택이 됩니다.

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