원주율 자릿수 계산기

모든 값을 10의 거듭제곱만큼 키운 정수 하나로 다루고 BigInt 나눗셈만 씁니다. 예를 들어 100자리를 원하면 π에 10¹¹²를 곱한 정수를 만들어 계산한 뒤 뒤쪽 12자리를 잘라 냅니다. 부동소수점(자바스크립트의 Math.PI)은 유효숫자 15~16자리에서 무너지므로 그 뒤로는 아무 의미가 없습니다. 정수 연산은 자릿수를 늘려도 오차가 정해진 자리 뒤로 밀려날 뿐이라 원하는 만큼 늘릴 수 있습니다.

π/4 = 4·arctan(1/5) − arctan(1/239)라는 정확한 등식입니다. 1706년 존 마친이 찾아 100자리를 손으로 계산했고, 컴퓨터 시대 초기까지 π 계산의 표준이었습니다. arctan(1/x) 급수는 한 항 넘어갈 때마다 x²로 나뉘므로 항 하나가 2·log₁₀x 자리를 벌어 줍니다. x=5면 1.4자리, x=239면 4.8자리입니다.

π/4 = 1 − ⅓ + ⅕ − ⅐ + … 는 arctan(1/1)이라 항이 전혀 줄지 않기 때문입니다. 위 규칙에 x=1을 넣으면 한 항이 2·log₁₀1 = 0자리를 법니다. 실제로 소수점 아래 한 자리를 더 얻으려면 항이 열 배씩 늘어나, 10자리를 얻는 데만 100억 항이 듭니다. 분모가 큰 arctan 여럿을 조합하는 이유가 이것입니다.

계통이 다른 방법으로 다시 계산해 한 자도 다르지 않은지 봅니다. 이 계산기는 마친·오일러·허턴·헤르만·스퇴르머·가우스 여섯 가지 arctan 조합에 더해, 급수가 아닌 가우스–르장드르 AGM까지 일곱 가지로 같은 자릿수를 구해 대조표에 나란히 놓습니다. 항의 개수가 방법마다 서너 배씩 차이 나는데도 자릿수가 모두 같다면 우연히 같은 실수를 저질렀을 가능성은 사실상 없습니다.

반올림했는지 잘라 냈는지의 차이입니다. π의 n번째 자리는 잘라 낸 값으로 세는 것이 관행이고 이 계산기도 그렇게 합니다. 예를 들어 소수점 아래 10자리는 3.1415926535이며, 11번째 자리가 8이라고 해서 3.1415926536으로 올리지 않습니다.

소수점 아래 762번째 자리부터 9가 여섯 번 이어지는 곳입니다. 물리학자 리처드 파인만이 여기까지 외운 뒤 «9가 계속된다»고 말하고 싶다고 한 데서 이름이 붙었습니다. 자릿수 찾기에 999999를 넣으면 762가 나오는 것으로 확인할 수 있습니다. 1000자리 안에서 같은 숫자가 여섯 번 이어질 확률은 낮은 편이라 우연치고는 이른 자리에 나옵니다.

여섯 자리쯤까지는 이 계산기의 1만 자리 안에서 대개 찾을 수 있습니다. 자릿수가 n개인 숫자열은 대체로 10ⁿ 자리쯤 안에서 한 번은 나오므로, 여덟 자리 생년월일이라면 1억 자리는 봐야 절반쯤 확률이 됩니다. 다만 π가 모든 숫자열을 반드시 품는다는 것(정규수라는 것)은 아직 증명되지 않았습니다 — 관찰될 뿐입니다.

반복 한 번에 맞는 자릿수가 두 배로 늘어납니다. 산술평균과 기하평균을 번갈아 취하는 가우스–르장드르 방식이라 1만 자리도 15번 안에 끝납니다. 대신 반복마다 아주 큰 수의 제곱근을 뽑아야 해서, 자릿수가 몇백 정도로 작을 때는 마친 공식이 오히려 빠릅니다. 급수와 계통이 전혀 달라 서로의 검산으로 쓰기 좋습니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.