도구스학업·수학

단면 성질(단면2차모멘트·단면계수) 계산기

직사각형·중공사각·원·파이프·I형·T형·ㄱ형 단면의 도심과 단면2차모멘트, 단면계수, 회전반경을 구합니다. 평행축 정리로 조각을 어떻게 조립했는지 표로 보여 주고, 같은 면적에서 모양만 바꿨을 때 얼마나 달라지는지도 나란히 비교합니다.

전체 높이 = hw + 2tf입니다. 플랜지가 멀리 있어 A·d²로 대부분을 담당합니다.

mm
mm
mm
mm

단면2차모멘트 Ix

369.05×10⁴ mm⁴

단면적 2,104mm², 전체 높이 100mm입니다. 단면계수는 위아래 같은 73,809.7mm³입니다.

단면적 A2,104 mm²
도심 (바닥에서)50 mm
단면2차모멘트 Ix369.05×10⁴ mm⁴
위쪽 섬유까지 c50 mm
아래쪽 섬유까지 c50 mm
단면계수 Z = I/c (위)73,809.71 mm³
단면계수 Z = I/c (아래)73,809.71 mm³
회전반경 r = √(I/A)41.881 mm
위아래 대칭인가대칭 — Z가 하나입니다

평행축 정리로 조립하면

조각면적도심 높이자신의 IA·d²
아래 플랜지80044,266.66671,692,800
웨브50450296,3520
위 플랜지800964,266.66671,692,800
합계2,104—304,885.33333,385,600

I = Σ(조각 자신의 I) + Σ(A·d²)입니다. 여기서는 평행축 항이 전체의 91.7%를 차지합니다 — 조각 자신의 I보다 크며, 재료를 도심에서 멀리 보낸 덕입니다. 면적이 음수인 줄은 «빼는» 조각입니다.

같은 단면적·같은 높이라면

모양Ix면적당 I지금 단면 대비
꽉 찬 직사각형175.33×10⁴ mm⁴833.333348%
같은 면적의 원352,274.8 mm⁴167.43110%
위아래 끝에 몰아 둔 이상적 I형526×10⁴ mm⁴2,500143%
같은 높이의 얇은 원형 관263×10⁴ mm⁴1,25071%

지금 단면과 같은 면적(2,104mm²)·같은 높이(100mm)로 모양만 바꿨을 때입니다. 「위아래 끝에 몰아 둔 이상적 I형」은 웨브를 무게 없는 것으로 본 상한이라 실제로는 못 미치지만, 꽉 찬 직사각형의 정확히 3배라는 것이 재료를 바깥으로 보내는 이득의 크기를 보여 줍니다.

y의 제곱이 전부입니다. I = ∫y²dA이므로 도심에서 멀수록 제곱으로 기여합니다. 직사각형이 bh³/12로 높이의 세제곱에 비례하는 것도, I형강이 재료를 위아래 끝으로 몰아 두는 것도 같은 이유입니다. 38×89 각재를 눕히지 않고 세우기만 해도 5.5배 강해집니다.
처짐은 I, 응력은 Z를 봅니다. 처짐은 δ ∝ 1/(EI)로 I에 반비례하고 휨응력은 σ = M/Z로 Z에 반비례합니다. 둘을 헷갈리면 처짐은 괜찮은데 응력이 넘거나 그 반대가 됩니다. 비대칭 단면은 위·아래 c가 달라 Z가 두 개이며, 인장과 압축 어느 쪽이 위험한지에 따라 봐야 할 값이 갈립니다.
회전반경은 좌굴에서 씁니다. r = √(I/A)이며 기둥의 세장비 = 좌굴길이/r로 들어갑니다. 휨에서는 강축 하나만 보면 되지만 좌굴은 «약한 축»으로 일어나므로, 기둥을 볼 때는 두 축의 r 가운데 작은 쪽을 써야 합니다. 이 도구는 수평축(x) 기준만 냅니다.
질량 관성모멘트와는 전혀 다른 양입니다. 이름이 비슷하고 기호도 둘 다 I를 쓰지만, 회전운동의 관성모멘트는 ∫r²dm으로 질량을 적분한 것이고 단위가 kg·m²입니다. 여기서 구하는 것은 ∫y²dA로 면적을 적분한 것이며 단위가 mm⁴입니다. 서로 바꿔 쓸 수 없습니다.
중공 단면은 빼는 조각으로 셉니다. 바깥 단면을 통째로 계산한 뒤 안쪽 단면을 «음의 면적»으로 넣으면 평행축 정리가 그대로 통합니다. 위 조각 표에서 면적이 음수인 줄이 그것입니다. 가운데는 도심에 가까워 y²가 작으므로, 속을 비워도 I가 별로 안 줄면서 무게만 크게 줍니다 — 파이프가 강한 이유입니다.
여기서 다루지 않는 것. 비틀림 상수 J, 전단중심, 소성 단면계수(Zp)는 범위 밖입니다. 또 ㄱ형은 수평축 기준 값이며 주축이 45° 돌아가 있어 실제 좌굴·휨 검토에는 주축 값이 필요합니다. 모서리의 필렛(둥근 부분)도 무시했으므로 실제 형강 규격표의 값과는 조금 다릅니다.

계산 방법

  1. 1단면 모양을 고르고 치수를 mm 단위로 넣습니다.
  2. 2단면2차모멘트 Ix와 단면계수 Z, 회전반경 r을 확인합니다.
  3. 3비대칭 단면이면 위·아래 단면계수가 다르므로 어느 쪽이 먼저 위험한지 봅니다.
  4. 4조각 표에서 평행축 항 A·d²가 전체의 몇 %를 차지하는지 확인합니다.
  5. 5같은 면적·같은 높이에서 모양만 바꾼 비교표로 재료를 얼마나 잘 쓰고 있는지 봅니다.

자주 묻는 질문

도심축에서 잰 거리의 제곱을 면적으로 적분한 값(I = ∫y²dA)으로, 단면이 휨에 얼마나 잘 버티는지를 나타냅니다. 처짐이 1/(EI)에 비례하므로 I가 두 배면 처짐이 절반이 됩니다. 단위는 mm⁴입니다.

I가 높이의 세제곱에 비례하기 때문입니다. 직사각형은 I = bh³/12이라 38×89 각재를 눕히면 89×38³/12, 세우면 38×89³/12로 (89/38)² ≈ 5.5배 차이가 납니다. 같은 나무인데 방향만 바꿔 5.5배 강해집니다.

Z = I/c이며 c는 도심에서 가장 먼 섬유까지의 거리입니다. 처짐은 I에 반비례하고 휨응력은 σ = M/Z로 Z에 반비례합니다. 둘을 헷갈리면 처짐은 괜찮은데 응력이 넘거나 그 반대가 됩니다.

T형이나 ㄱ형처럼 위아래가 비대칭이면 도심에서 위쪽과 아래쪽까지의 거리가 달라 Z가 둘이 됩니다. 도심에서 먼 쪽이 c가 커서 Z가 작고, 그쪽 섬유의 응력이 먼저 한계에 닿습니다. 인장에 약한 재료라면 인장이 걸리는 쪽의 Z를 봐야 합니다.

조각으로 나눠 각 조각의 도심 I에 A·d²를 더해 합칩니다(d는 조각 도심에서 전체 도심까지). I형강에서는 이 A·d² 항이 조각 자신의 I보다 훨씬 큽니다 — 플랜지 자체는 얇아 I가 작지만 멀리 있어서 대부분을 담당합니다.

기둥의 좌굴 검토에 씁니다. r = √(I/A)이며 세장비 = 좌굴길이/r로 들어갑니다. 좌굴은 약한 축으로 일어나므로 기둥을 볼 때는 두 축의 r 가운데 작은 쪽을 써야 합니다. 이 도구는 수평축 기준만 냅니다.

전혀 다른 양입니다. 회전운동의 관성모멘트는 ∫r²dm으로 질량을 적분한 것이고 단위가 kg·m²이며, 여기서 구하는 단면2차모멘트는 ∫y²dA로 면적을 적분한 것이고 단위가 mm⁴입니다. 이름과 기호가 비슷할 뿐 서로 바꿔 쓸 수 없습니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.

알아두면 좋은 점

  • 수평축(x) 기준 값만 냅니다. 약축과 주축은 다루지 않으며, 특히 ㄱ형은 주축이 45° 돌아가 있어 좌굴 검토에는 주축 값이 필요합니다.
  • 모서리의 필렛(둥근 부분)을 무시했으므로 실제 형강 규격표의 값과 조금 다릅니다.
  • 비틀림 상수 J, 전단중심, 소성 단면계수 Zp는 범위 밖입니다.
  • 치수는 모두 mm로 넣습니다. 면적은 mm², I는 mm⁴, Z는 mm³로 나옵니다.

함께 보면 좋은 도구

보 처짐 계산단순보·캔틸레버·고정보의 최대 처짐과 휨응력을 계산합니다.좌굴하중오일러 좌굴하중 Pcr = π²EI/(KL)²과 세장비를 구합니다.비틀림 각도원형 축에 토크가 걸릴 때의 전단응력과 비틀림각을 구합니다.관성모멘트막대·원판·구 등 표준 도형의 관성모멘트를 계산합니다.죄수와 상자죄수 수와 열 수 있는 상자 수를 넣으면 아무 상자나 여는 전략과 사이클을 따라가는 전략의 전원 성공 확률을 각각 구합니다.

마지막 검증: 2026년 9월 2일 · 결과는 참고용 추정치입니다.